Les défis mathématiques du Monde, épisode 1
Avez-vous tenté le premier défi du Monde ?
La première question est facile, la seconde aussi.
La première question est facile, la seconde aussi.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
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Réponses
Je n'ai pas d'infos sur l'idée de ces défis mathématiques... à quel niveau ça s'adresse ?
18881 71517 123454321
Les nombres palindromiques a 2 chiffres sont 11 22 33 44 55.... 99
Il y a donc 9 palindromes a 2 chiffres
ceux a trois chiffres : il suffit d'insérer un nombre entre chaque nombre palindromique a 2 chiffres
101 111 121 ... 191
202 212 292
il y a donc 90 palindromes a trois chiffres !
la distance entre 11 et 22 est 11 , la distance entre 33 et 44 est 11. la distance entre 11 et 33 est 22. la distance minimale est donc 11.
Question : combien y a t il de palindromes a 351 chiffres ? Quelle est la distance minimale entre deux palindromes de 351 chiffres ?
La méthode de vanilla-sky est très belle pour passer des palindromes à $2n$ chiffres aux palindromes à $2n+1$ chiffres, en insérant un chiffre au milieu.
Un palindrome à $2n+1$ chiffres est déterminé par ses $n+1$ premiers chiffres, lesquels peuvent être librement choisis, le premier n'étant pas $0$. Le nombre de ces palindromes est donc le nombre de nombres à $n+1$ chiffres, ne commençant pas par $0$, c'est donc : $9\cdot 10^{n}$.
Toujours si j'ai bien compris, il y a une autre question, c'est la distance minimum entre deux tels nombres palindromiques. Je présume que la distance entre deux nombres quelconques est définie comme la valeur absolue de leur différence. A bisto de nas, je dirais que cette distance minimum est : $10^{n}$.
Alors, ai-je gagné la possibilité de participer aux éliminatoires conduisant au tirage au sort d'un DVD d'un film âgé de 12 ans, quand Russel Crowe était jeune ? Ou bien faut que je souscrive un abonnement de 10 ans à l'imMonde, que je finance déjà par mes impôts ?
Bonne journée.
RC
> Toujours si j'ai bien compris, il y a une autre
> question, c'est la distance minimum entre deux
> tels nombres palindromiques. Je présume que la
> distance entre deux nombres quelconques est
> définie comme la valeur absolue de leur
> différence. A bisto de nas, je dirais que cette
> distance minimum est : $10^{n}$.
9000....0009-8999...9998 doit te contredire.
Bonne journée.
RC
AD
Quel est le jour où les journaux le Monde et le Figaro publient leurs défis.
Merci
http://www.lemondeestmathematique.fr/ouvrages.php
Il s'agit de palindromes donc il suffit de s'occuper de E(n/2) nombres. Par une recurrence immediate on a qu'il ya 9*10^(E(n/2)) (voir cas particulier E()-1) palindromes à exactement n chiffres. Avec E(x) la fonction partie entière.
De même on a 10^E(n/2) pour la difference minimale.
Ici, la puissance est 175
Makhtar
Si $n$ est impair, il y a $9 \times 10^{E(\frac{n}{2})}$ palindromes à $n$ chiffres (même raisonnement que précédemment sauf qu'il faut aussi choisir le chiffre du milieu parmi 10 possibilités).
D(n) = min (11, D(n-1)*10)
En effet:
La distance mini entre les palyndromes a n chiffres commencant et finissant par le meme chiffre est egale a D(n-1)*10
La distance mini entre 2 palyndromes a n chiffres commencant et finissant par un chiffre different est egale a 11
Comme D(1)=1 et D(2)=10 alors D(3)=11,...., D(351)=11
j'aimerais épater mes amis !!!!
Nous sommes nuls en math mais nous sommes tombés sur ce problème à résoudre...
Quelqu'un, parmi vous, aurait-il la gentillesse de donner la réponse avec une explication "correcte", plausible et compréhensible pour des novices.
genre :
1/
2/
3/
= XXX
Un bon dîner est en jeu !!
Le chiffre entre parenthèses est le pivot.
Comme le nombre est palindromique, le groupe des 3 chiffres les plus à gauche, ainsi que le pivot, déterminent le nombre de pamindromes à sept chiffres.
- le chiffre le plus à gauche du groupe avant le pivot ne peut prendre que des valeurs de 1 à 9 (il n’y a pas de nombre commençant par zéro)
- les chiffres suivants du groupe avant le pivot peuvent prendre des valeurs de 1 à 10
- le pivot peut prendre des valeurs allant de 1 à 10
Donc le nombre de nombres palindromiques à 7 chiffres est : 9x10x10x10 = 9x10^3 (neuf, dix puissance 3 car 7 = 2x3+1)
De proche en proche, on détermine que le nombre de nombres palindromiques à 351 chiffres est = 9x10^175 (neuf, dix puissance 175 car 351=2x175+1)
2°) Quelle est la différence minimale entre 2 nombres palindromiques à 7 chiffres (pour commencer) ?
Si je prends maintenant le nombre 9999999 et que je lui ajoute 1, je trouve 1000.0001 qui est palindromique mais il a 8 chiffres à cause de la retenue. Pour conserver les 7 chiffres, il faudrait que le chiffre le plus à gauche ne soit pas 9
- 8999999+1= 9000000 qui n’est pas palindromique à cause du chiffre des unités. Il faudrait touver un chiffre des unités « U » tel que
- U99999U+p = Q99999Q
o U+p = 10 + Q [1]
o U+1 = Q [2]
- En faisant la différence entre les 2 équations, [1] – [2], on élimine U et Q et on trouve p=11
Par exemple, 2999992+11=3000003 qui est bien un nombre palindromique.
On voit que ce principe de construction se généralise à n’importe quel nombre palindromique du fait que la retenue se propage de droite à gauche.
Invitez-moi pour le café,
Nous vivons à Rio... Difficile de vous offrir le café !
Merci encore.
La distance entre les palindromes: 191 et 181 est 10 et non 11.
En tout cas ma femme et moi (deux profs de maths) nous sommes trompés en le résolvant. On a mis à peu près 30 s ; on aurait sûrement dû réfléchir un peu plus...
http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/03/29/les-defis-mathematiques-du-monde-reponse-de-l-episode-1-les-palindromes_3150508_1650684.html#xtor=RSS-3208
Salut