Inspecteur des finances publiques 2013.

Une IPP ne ferait pas l'affaire?

Eric

Pour rappel : nature de $\int_1^\infty \frac{\sin t}{t^a}\,dt$ lorsque $a > 0$.

\begin{itemize}
\item Si $a > 1$ : l'intégrale est absolument convergente.
\item Si $0 < a < 1$ : l'IPP suggérée par Eric donne
\[
\int_1^x \frac{\sin t}{t^a}\,dt = \left[-\frac{\cos t}{t^a}\right]_1^x - a \int_1^x \frac{\cos t}{t^{a+1}}\,dt
\]
où le premier morceau tend lorsque $x\to\infty$ vers $\cos 1$ et le second fait apparaître un terme absolument intégrable sur $[1:\infty[$. En revanche on peut montrer que l'intégrable est pas absolument convergente.

\[
\int_\pi^\infty \frac{|\sin t|}{t^a} \,dt = \sum_{n=1}^\infty \int_{n\p}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t^a} \,dt\geq \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n\pi)^a} \int_0^\pi \sin t\, dt = +\infty.
\]
\end{itemize}

On peut aussi écrire $\sin(t+1/t)=\sin t\cos(1/t)+\cos(t)\sin(1/t)$, puis remarquer
que $t \mapsto \cos t\sin(1/t)/t^a$ est intégrable au voisinage de $+\infty$ pour tout
$a>0$ (car majorée en valeur absolue par $1/t^{a+1}$) , et traiter $t \mapsto \sin t\cos(1/t)$ à l'aide d'un DL asymptotique :
$\sin t\cos(1/t)=\sin t -\sin t/t^2+O(1/t^2)$ qui nous ramène à étudier $\sin t/t^a$.