Leçon: Echantillonnage

C’est une leçon de probas-stats ou de théorie du signal ?

Tu dois pouvoir piocher des choses intéressantes également dans des bouquins de BTS

Re,
en regardant les livres de la collection Hyperbole :

* En 2nde:
le programme dit : notion d'échantillon, intervalle de fluctuation d'une fréquence à 95 $\%$ et réalisation d'une simulation (dans les contenus)
exploiter et faire une analyse critique d'un résultat d'échantillonnage, concevoir et exploiter une simulation avec un tableur ou une calculatrice (dans les capacités)
dans le livre, pas de cours proprement dit sur ce chapitre, juste des activités d'approche.
ce qu'il ressort en terme de connaissances :
• un échantillon est un sous-ensemble d’une population obtenu par prélèvement aléatoire dans cette population
• un échantillon de taille n est obtenu par une répétitions indépendantes d’une même expérience aléatoire à 2 issues (1 pour le succès, 0 pour l’échec) , c’est donc un modèle de Bernoulli.
• les distributions de fréquences varient selon l’échantillon, cela s’appelle la fluctuation d’échantillonnage.
• On établit (sans preuve) que pour environ 95$\%$ des échantillons de taille n relevant du modèle de Bernoulli de probabilité p, la fréquence f d’apparition du 1 (le succès) appartient à l’intervalle $[p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}] $. Cet intervalle s’appelle l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 $\%$.
Pour cela, les conditions sont $n\ge25$ et $0,2\le p\le 0,8$

En 1ère, on améliore en utilisant une loi binomiale :
• L’intervalle de fluctuation à 95$\%$ de la fréquence qui correspond à la réalisation (sur un échantillon aléatoire de taille n) d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale, est $[\frac{a}{n},\frac{b}{n}]$, où a est le plus petit entier tel que $P(x\le a)>0,025$et b le plus petit entier tel que $P(x\le b))\le 0,975$.
Cette propriété est vraie pour toutes valeurs de n et de p (pas comme l’intervalle vu en seconde)
• On utilise cet intervalle pour rejeter ou non une hypothèse à 95$\%$
• On créé cet intervalle (et on l’utilise) pour un seuil quelconque demandé, au seuil de 99$\%$ par exemple.
A ce niveau, on créé un tableau de la loi binomiale B(n,p) , où n est la taille de l’échantillon et p la proportion du caractère de la population, du type : $P(x\le k)$ pour k variant de 0 à n.
on remarque 5$\%$ se partage en deux : les 2,5$\%$ des plus petites valeurs (qui correspond au taux de 0,025) et les 2,5$\%$ des plus grandes valeurs (qui correspond au taux de 0,975)


On lit ensuite les valeurs a et b comme définies au-dessus.
Cet intervalle de fluctuation est meilleur que celui vu en seconde

CONCLUSION (en première lecture)
Beaucoup de simulations (calculatrice ou Excel) que l’on va exploiter avec les intervalles définis en classe.
La lecture de livres de BTS est sans doute une bonne idée.
Je regarde pour un livre de terminale pour voir ce qu’il se passe. Je crois me rappeler qu’on utilise la loi normale comme approximation de la loi binomiale, mais pas vu comment utiliser pour l’échantillonnage

Une autre référence : Contes et décomptes de la statistique de Claudine Robert chez Vuibert.

Voici comment je l'ai enseigné cette année en premiere :
- partir de la loi binomiale pour des valeurs raisonnables de n pour introduire la représentation en batons et la fonction de répartition associée,
- puis passer à de grandes valeurs de n pour arriver à la courbe en cloche (et faire faire le calcul de P(a < X < b) avec une table et avec la calculatrice
- faire le lien avec l'intervalle de fluctuation à 95 % en 1/ sqrt(n) (et au niveau capes, je pense que c'est là qu'on peut introduire la loi normale via le TCL, mais au niveau premiere, on a juste constaté la proximité des intervalles de fluctuation numériquement)
- ensuite travailler sur la notion d'intervalle de confiance pour l'estimation d'une proportion (différence avec l'intervalle de fluctuation), et de test d'hypothèse pour une proportion inconnue. On peut faire attention à présenter correctement le vocabulaire des tests à ce niveau et préciser les deux types d'erreur (au niveau seconde/première, on s'intéresse uniquement à l'erreur de première espèce).

Pour ce qui est des exercices, ceux du document d'accompagnement des programmes peuvent etre une bonne inspiration, en particulier celui portant sur un arret historique de la cour suprème des USA où un accusé a été relaxé car son jury n'était pas représentatif de la composition ethnique de l'état dans lequel il vivait (repris dans différents bouquins de seconde/première). Les documents d'accompagnement des nouveaux programmes de TS présentent une preuve de l'approximation gaussienne de la binomiale avec des techniques élémentaires, ça peut etre aussi bon de l'avoir lu une fois. On peut aussi parler des sondages (c'est d'actualité !)

Vous prétendez qu'il existe une démonstration de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Gauss au niveau de la terminale C.
L'intégration au niveau de cette classe est limitée à des fonctions sur des intervalles BORNES.
Un candidat au CAPES ne peut pas prétendre faire la démonstration de ce fait au niveau d'une terminale S à moins d'admettre des théorèmes
largement hors-programme.

L'intervalle de confiance n'est pas au programme de seconde, et ce même si les livres, en général, le font.

Il est au programme de 1ère S (et STI2D/STL) dans le cas de la loi binomiale, et en Terminale S (et STI2D/STL).

D’ailleurs sur cet intervalle de confiances, les livres font souvent une démonstration de l'équivalence de la formule entre l'intervalle de fluctuation et l'intervalle de confiance basée sur : $p \in \big[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f-1\frac{1}{\sqrt{n}}\big]$ équivaut à $f \in \big[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+1\frac{1}{\sqrt{n}}\big]$ donc $p$ a $95\%$ de chance d'être dans cet intervalle. Ce qui est, il me semble, complètement faux.

Merci de ta réponse gerard0, mais je ne comprends pas tout.

Dans le sens où dans les notation, il y a $p$, la proba d'apparition du caractère étudié qui est un entier fixé (compris entre 0 et 1), la fréquence $f$ d'un échantillon de taille $n$ et la fréquence observée $f^{obs}$ sur un échantillon de taille $n$. L'unique variable aléatoire dans l'histoire : c'est $f$.

Au sujet des deux intervalles :
En effet pour $P(f\in\big[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p-\frac{1}{\sqrt{n}}\big])\geq 95\%$ c'est plutôt claire: on a 95\% de chance que la fréquence soit dans cet intervalle.

Par contre comment expliquer par une phrase la seconde proba (celle de l'intervalle de confiance), qui porte sur $f$, ta phrase "$p$ avait 95\% ..." laisse entendre qu'elle porte sur $p$. Sans parler, comme tu le signales, de la confusion entre $f$ et $f^{obs}$.

Il me semble délicat de faire ces deux notions d'intervalles de confiance/fluctuation en même temps, tout du moins si on ne veut pas qu'il y ait trop de confusion chez nos élèves. D'autant plus qu'ils vont s'en manger tous les ans, en première avec la loi binomiale (sous la forme: si $X$ suit une loi $B(n,p)$ alors on cherche le plus petit entier $a$ tel que $P(X\geq a)>2,5\%$ et le plus petit $b$ tel que $P(X\geq b)\geq 97,5\%$ (mes inégalités strictes/larges sont peut-être fausses), puis en Terminale avec un intervalle plus précis, et des la 1ère des validations d'hypothèses. Le tout étant sorti du chapeau (l'intervalle de seconde peut quand même se visualiser expérimentalement).

[Avex LaTeX, il faut banaliser le \% (\verb=\%=) AD]

Bonjour,

je suis intrigué par ce dernier échange, je comprends tout a fait le point de vue que $ p \in \big[f_{obs}-\frac{1}{\sqrt{n}};f_{obs}-1\frac{1}{\sqrt{n}}\big]$ est vrai ou faux puisque l'on veut savoir si un nombre fait partie ou non d'un intervalle.
Cependant dans le cas où $p$ est inconnu, dans ma petite tête, en toute bonne foi, cela ne me choque pas de dire qu'il y a une probabilité d'au moins $95\%$ que $p$ soit dans cet intervalle.
Imaginons l'interro de maths bizarroïde suivante:
- Je tire en classe, avec remise, 50 boules dans une urne possédant $40\%$, moi seul le sait, de boules bleues. Je note le nombre de boules bleues obtenues, et je demande aux élèves d'écrire un intervalle d'amplitude $\frac{2}{\sqrt{50}}$ avec la précision suivante : "si la vraie proportion de boules bleu est dans l'intervalle donné alors vous aurez 20 sinon 0".
Un élève qui écrit $\big[f_{obs}-\frac{1}{\sqrt{50}};f_{obs}-1\frac{1}{\sqrt{50}}\big]$ et à qui on demande si l'interro de maths s'est bien passée est en droit de dire "la probabilité que j'ai 20 est au moins de $95\%$" non ? et comme avoir 20 est équivalent à $ p \in \big[f_{obs}-\frac{1}{\sqrt{50}};f_{obs}-1\frac{1}{\sqrt{50}}\big]$, voilà pourquoi je suis intrigué.

Merci pour les précisions que vous pourrez apporter,

Merci beaucoup gerard0 pour tes précision.

La question qui reste est qu'est-ce qui peut bien resté dans la tête des élèves a la fin de ce type de cours.


En fait j'ai une dernière (ou pas) question, une des applications des intervalles de fluctuation est pour les testes, en particulier sur l'exercice qui se trouve page 35 du document accompagnant de proba en 1ere.

Rapidement, un chef de gouvernement affirme qu'il a 52% d'opinion favorable, et il va faire un sondage pour rejeter ou pas son hypothèse, pour cela il calcul l'intervalle de fluctuation qui correspond à son hypothèse (par exemple en utilisant la loi binomiale B(100;0,52) s'il sonde 100 personnes), trouve comme intervalle [0,42;0,62].
Comme dans le sondage il a 43%, son hypothèse n'est pas rejetée au seuil de 95%

Ma question est sur la formulation de la dernière phrase, car elle ne dit pas du tout que son hypothèse est fiable a 95%. Pour faire sentir la chose on peut rajouter une question du style: un opposant affirme qu'il n'a que 38% d'opinion favorable, son hypothèse est-elle acceptable. Puis en calculant l'intervalle de fluctuation (via B(100;0,38)) on peut dire que le même sondage qu'avant ne rejète pas non plus l'hypothèse.

Rq: les deux valeurs 0,38 et 0,43 sont (environ) les deux valeurs extrèmes qui ne sont pas rejetés par le sondage, est-ce que [0,38;0,43] est l'intervalle de confiance, si oui n'est-ce pas plus claire de le définire de cette manière?

Samok,

je pense que plutôt, l'élève est dans une situation probabiliste liée à l'ignorance, toi pas (pour toi p n'est pas aléatoire).
On peut effectivement avoir été formé en probabilités sans avoir vraiment réfléchi à ce qu'est l'aléatoire, ou, comme moi, s'être formé seul en ayant besoin de vraiment comprendre, faute d'argument d'autorité (celui du prof). De plus, j'ai rencontré quelques cas d'application indue des probabilités à des événements uniques (probabilité que M. Dupont soit l'assassin sachant que .. ou probabilité qu'il y ait la guerre nucléaire l'an prochain) qui donnent des résultats bizarres (probabilité supérieure à 1 dans le premier cas, probabilité toujours croissante dans le deuxième).

Cordialement.

La remarque de Gérard, me fait penser à un reportage au journal de 20h, il y a quelques semaines.
Le journaliste disait que le fait de consommer tel aliment réduisait la probabilité de mourir. (Prouvé scientifiquement ! (td) )
Tout le monde sait que la probabilité de mourir est de 1, que vous mangiez des légumes, ou du saucisson ! Il ne faut pas hésiter d'ailleurs à exploiter ces exemples avec ses élèves.