Sujets agrégation interne 2012
Réponses
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C'est à Mayotte. Salut Maribe!
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Non ce n'est pas une plaisanterie. Et j'ai pas envie de repasser l'épreuve. Elle m'a plu
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30 min???
pourquoi ils ont fait ça? discrimination positive envers les DOM-TOM??? (:P)
c'est clair, que, du coup, c'est pas vraiment équitable....
que va-t-il bien pouvoir se passer?
Marie -
De toutes les façons je sais pas trop à quoi servaient ces 30 minutes vu le sujet...
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Bonsoir,
je me demandais si l'un d'entre vous avait résolu élégamment la première question de l'épreuve deux.Ca m'a pris une heure pour écrire correctement les choses et je trouve ça louche ... -
Je n'ai pas réussi. Ca me fait penser à la démonstration pour montrer que l'ensemble formé par une suite convergente et sa limite est compact sauf que les ensembles ici ne sont pas forcément bornés et donc pas forcément compacts. Quelqu'un a su ou saurait montrer que T(u) U V(u) est fermé?
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Bonsoir,
L'idée est qu'un élément du premier ensemble est soit un élément de la suite soit une valeur d'adherence.
Ne pas oublier la double nculusion. -
Voici une solution de la première question de l'épreuve 2.
Si $x\in V(u)$, il existe une suite extraite $u_{\varphi(i)}$ de limite $x$. Comme il existe $i_0$ tel que pour tout $i\ge i_0$ on ait $\varphi(i)\ge N$, on a $u_{\varphi(i)}\in T_N(u)$ pour tout $i\ge i_0$. Le point $x$ est donc limite d'une suite à valeurs dans $T_N(u)$, ce qui montre que $x\in \overline{T_N(u)}$. Par conséquent, $V(u)\subset \overline{T_N(u)}$.
De plus, il est évident que $T_N(u) \subset \overline{T_N(u)}$, donc $V(u)\cup T_N(u)\subset \overline{T_N(u)}$.
Réciproquement, soit $x\in \overline{T_N(u)}$. Il existe une suite $(y_i)$ à valeurs dans $T_N(u)$ de limite $x$. Par définition de $T_N(u)$, il existe $f(i)\ge N$ tel que $y_i=u_{f(i)}$.
Premier cas : la suite $(f(i))$ prend un nombre infini de valeurs.. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que $f(i)$ est strictement croissante, et donc $x\in V(u)$.
Deuxième cas ; la suite $(f(i))$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer qu'elle est constante, donc que $(y_i)$ est constante, donc $x\in T_N(u)$. -
C'était le réciproquement qui m'avait gêné. Merci JLT. Effectivement, ca ressemble à ce à quoi j'avais pensé au début, mais ce n'était pas aussi clair et je n'ai pas réussi à l'écrire.
Si vous avez une rédaction pour le 11a, ca m'intéresse aussi. -
Bonsoir JLT
merci pour cette réponse. C'est ce que j'ai écrit à peu près je crois.
Mais à la place de "quitte à extraire une sous suite, on peut supposer qu'elle est strictement croissante" j'ai ramé avec une construction par récurrence de la sous-suite.
Ca m'a fait perdre un temps précieux. -
11a) Soit $x\in [0,1[$. Pour tout entier $j$, soit $k(j)$ la partie entière de $2^jx$.
On a $k(j)\le 2^jx<k(j)+1$. La première égalité donne $k(j)/2^j \le x <1$ donc $k(j)<2^j$.
Soit $n(j)=2^j+k(j)$. Par définition, $p_{n(j)}=j$ et $k_{n(j)}=k(j)$ donc $v_{n(j)}=\frac{k(j)}{2^j}\le x$.
D'autre part, $2^jx-k(j)<1$ donc $0\le x-v_{n(j)}\le 2^{-j}$. On en déduit que $x-v_{n(j)}$ tend vers 0, autrement dit la sous-suite $v_{n(j)}$ tend vers $x$, et par conséquent $x$ est une valeur d'adhérence. -
Merci à Monsieur JTL qui nous donne une rédaction de l'épreuve d'agreg interne avec une facilité déconcertante...
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Merci JLT. C'est si simple quand on sait tout rassembler..... En gros, j'ai fait la partie I sauf les 2 questions déjà données et 2 autres. S'il y en a qui l'ont fait sans trop sauter de questions, ou vous-êtes vous arrêtés?
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Pour le 18), je pense à $u_n=\exp(2i\pi \log n)$. Quelqu'un a plus simple ?
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La suite est à valeurs dans E qui peut être de dimension 1. J'ai construit une suite définie pour n>=1 et qui part de 0 et qui oscille entre -1 et -1 en ajoutant 1/n tant que u_n<1 puis en retranchant 1/n jusqu'à -1 et ainsi de suite. Je n'ai pas démontré qu'elle diverge. En y repensant, on doit pouvoir montrer qu'elle diverge en montrant que -1 et 1 sont valeurs d'adhérence, ou par l'absurde en utilisant la divergence de la série de terme général 1/n.
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cos (sqrt(n)) ???
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et concernant le passage éventuelle d'une nouvelle 1ere epreuve, vous pensez qu'on aura des infos quand???
la question me taraude... -
La notion est définie sur un espace général $E$, mais il ne me semble pas que la question 18 impose de fournir un exemple dans tout espace $E$. Je pense qu'on a le choix de l'espace.bibe a écrit:La suite est à valeurs dans E qui peut être de dimension 1.
Mais admettons. Je complète donc ma réponse.
Puisque la suite $u_n=\exp(2i\pi \log n)$, à valeurs dans un compact, ne converge pas, elle a au moins deux valeurs d'adhérences, $a_1$ et $a_2$.
La suite $v_n=|u_n-a_1|$ répond encore à la question: elle est encore à évolution lente, et elle n'est pas convergente car elle a au moins 2 valeurs d'adhérence. -
Bonjour,
Pour la question 18 où l'on demande de trouver un exemple de suite bornée à évolution lente mais non convergente :
Il est écrit juste en dessous de la question que pour une telle suite V(u) n'est pas connexe.
Ne pouvait-on pas prendre la suite définie à la question 11 ?
Cdt, -
Un exemple doit avoir un ensemble de valeurs d’adhérences connexe d'après la suite du pb. J'ai peur que le tien ne fonctionne pas (pour passer d'un rang pair à un rang impair, l'écart est presque de 1, ce qui contredit la convergence vers 0.bibe a écrit:La suite est à valeurs dans E qui peut être de dimension 1. J'ai construit une suite définie pour n>=1 et qui part de 0 et qui oscille entre -1 et -1 en ajoutant 1/n tant que u_n<1 puis en retranchant 1/n jusqu'à -1 et ainsi de suite. Je n'ai pas démontré qu'elle diverge. En y repensant, on doit pouvoir montrer qu'elle diverge en montrant que -1 et 1 sont valeurs d'adhérence, ou par l'absurde en utilisant la divergence de la série de terme général 1/n.
Les exemples d'Aléa semblent bons mais il faudrait démontrer la convergence lente, non ? $lim\limits_{n\to \infty} |\exp(2\i\pi\log(n+1)-\exp(2\i\pi\log(n)|=0$. C'est évident ?
J'ai proposé la suite des $\exp(\frac{2k\i\pi}{n})$ avec $k$ allant de 0 à $n$ puis $n$ allant vers l'infini (dans cet ordre). C'est très mal rédigé sur ma copie mais assez facile de voir que la différence tend vers 0 et que 1 et -1 sont valeurs d'adhérence. Pour la rédaction j'aurais dû m'inspirer de la question 11.
Bien vu LGT pour les rédactions proposées.Pour la question 1, était-on obligés de distinguer les deux derniers cas ? un nombre infini de rangs devait suffire, non ?
Pour 11) a), je crois qu'on pouvait aussi partitionner $[0;1]$ par les intervalles $\big[\frac k {2^N}, \frac{k+1}{2^N}\big[$, $x$ appartient à un seul, on pose $v_N=\frac k {2^N}$, la suite $u_N$ converge vers $x$ et est extraite de $u$. -
Merci Alea. Effectivement, je suis encore dans le sujet sans trop de recul. Sinon celle de marie lbg en la changeant un peu : cos(pi*sqrt(n)) donne un peu plus facilement les suites extraites.
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youpi18 a écrit:> Bonjour,
> Pour la question 18 où l'on demande de trouver un
> exemple de suite bornée à évolution lente mais non
> convergente :
> Il est écrit juste en dessous de la question que
> pour une telle suite V(u) n'est pas connexe.
> Ne pouvait-on pas prendre la suite définie à la
> question 11 ?
> Cdt,
Je ne sais pas :elle saute de presque 1 à 0 pour deux termes consécutifs une infinité de fois. -
Bonjour,
pour la question 18, la suite de la question 11 ne convenait pas. Mais je m'en suis inspirée pour créer ma suite en intercalant des termes.
$ 0; \dfrac{1}{2}; 0; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{4}; 0; \dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{8}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{8}; \dfrac{3}{4}; \dfrac{7}{8}; \dfrac{3}{4}; \dfrac{5}{8}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{8}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{8}; 0; \dfrac{1}{16};... $ -
@totocov : d'après l'inégalité des accroissements finis $|e^{ix}-e^{iy}|\le |x-y|$, donc
$|e^{2i\pi \log(n+1)}-e^{2i\pi \log(n)}|\le 2\pi |\log(n+1)-\log n|=2\pi \log(1+1/n)\le\frac{2\pi}{n}$.
Et pour la divergence $|u_{2n}-u_n|=|\frac{u_{2n}}{u_n}-1|=|e^{2i\pi \log 2}-1|$.
Mais l'idée de la suite $\cos(\pi\sqrt{n})$ est excellente ! -
Merci Alea... bien vu les accroissements finis.
Pour $\cos(\pi\sqrt{n})$, il y a un argument similaire à donner, non ? pas simple le jour J si on ne connait pas. En tout cas jolie idée. -
Le résultat sous-jacent à tous ces exemples est le suivant:
Soit $(x_n)_{n\ge 1}$ le terme général d'une suite positive de limite nulle, telle que la série de terme général $(x_n)$ diverge. On pose $s_n=x_1+ \dots +x_n$ et, pour $x$ réel, on note $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$ $(x-\floor{x}))$. Alors la suite $\{x_n\}$ est dense dans $[0,1]$. -
oui: si $f(x)=\cos(2\pi\sqrt{x})$ $f'(x)=-\frac{\pi \sin(2\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ qui en valeur absolue ne dépasse pas $\frac{\pi}{\sqrt{n}}$ sur $[n,n+1]$.
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aléa a écrit:Le résultat sous-jacent à tous ces exemples est le suivant:
Soit $(x_n)_{n\ge 1}$ le terme général d'une suite positive de limite nulle, telle que la série de terme général $(x_n)$ diverge. On pose $s_n=x_1+ \dots +x_n$ et, pour $x$ réel, on note $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$ $(x-\floor{x}))$. Alors la suite $\{x_n\}$ est dense dans $[0,1]$.
Pas évident pour moi : la suite que tu obtiens ressemble à celle de la question 11 mais n'est pas à évolution lente (ou alors c'est à démontrer). Encore une fois, on passe une infinité de fois d'un nombre au-dessus de 1/2 à 0 au terme suivant. -
désolé, j'avais mal lu ton résultat. tu as raison ALéa.
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Et pour la non-cenvergence de $u_n=\cos(\pi\sqrt{n})$, si $(u_n)$ convergeait vers une limite $a$, alors la suite extraite $\cos(\pi\sqrt{n^2})=(-1)^n$ convergerait également, ce qui est faux puisque -1 et 1 sont des valeurs d'adhérence.
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1) Ce n'est pas évident, c'est même un peu lourd à écrire.
2) effectivement $\{s_n\}$ n'est pas à évolution lente mais $e^{2i\pi s_n}$, $\cos(2\pi s_n)$ et $\sin(2\pi s_n)$ le sont. -
Bonjour comme suite à évolution lente bornée et divergente , j ai choisi cos(ln n ) et çà marchait tout seul me semble-t-il....Sauf erreur de calcul
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Bonjour à tous,
Moi aussi j'ai passé l'agrégation interne et je dois dire que l'épreuve d'hier m'a un peu sapé le moral pour l'admissibilité.
Pour la suite à convergence lente, voici ce à quoi j'ai pensé:
Je pose, pour tout n dans N : $u_n=\sqrt{n}$
$u_n$ ne converge clairement pas.
Et,
$u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
$u_{n+1}-u_n=\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1)$
$u_{n+1}-u_n=\sqrt{n}(1+\frac{1}{2n}-1+o(\frac{1}{n}))$
$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2\sqrt{n}}+o(\frac{1}{\sqrt{n}})$
Donc, $u_{n+1}-u_n$ tend vers zéro lorsque n tend vers $+oo$.
Donc, $u_n$ est à convergence lente...
Aries -
ou vérifier qu'elle n'est pas de Cauchy (R etant complet)...j'ai peut-être (certainement) eu tort, mais je n'ai même pas justifié la non convergence, tellement ces suites en cosinus me semblaient standard ...encore un regret!
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Mince... je viens de me rendre compte... ma suite n'est pas bornée....
Arf...
Aries -
oups, elle n'est pas bornée...
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Bonjour
Et un truc du genre $(-1)^n\frac{n}{n+1}$ ne fait pas l'affaire pour la question 18 ?
Cordialement.
[La case LaTeX.
AD] -
Un peu de cuisine nourrit la réflexion : le plus simple était de prendre $v_n=e^{2i\pi u_n}$ où $u$ était la suite de la question 11.
Rien à faire : $x\mapsto e^{2i\pi x}$ est continue surjective de $[0;1]$ dans $S^1$ donc $V(v)=S^1$. $v$ ne converge pas, elle est bornée et à convergence lente : les points tournent autour du cercle de plus en plus lentement (de $\frac{2i\pi}{2^N}$).
J'aurais du y penser ! -
SK, $|| u_{n+1}-u_n ||$ tend vers 2 ...
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pour la question 18)
la suite un = sin(ln (n))
On démontre qu'elle est a convergence lente avec les formule de trigo qui permettent de passer de la somme au produit -
la suite U définie par :
U2p = (-1)p + 1/(2p)
U2p+1 = (-1)p +1/(2p+1)
convenait, il me semble -
Non ça ne marche pas.
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La suite partielle des n premiers de la suite des 1/n fonctionne je pense...
J'ai vraiment souffert cette année et surtout sur l'épreuve 2... Pour la 1, j ai traite bcp de questions dans A, la moitié de B et C et E entièrement....
L'épreuve 2 m'a bcp décu, car j' aime l'analyse pure... Majorer, découper, minorer, intégrer... Depuis quelques années, le juryn oriente clairement leur choix... Quid, des personnes comme moi... Pas vraiment excellent et bosseur... Je prépare l'agreg mais il faut tjs aucune connaissance des théorèmes importants d'analyse... ( Cv domine, IPP généralises, Formule de Taylor, ACF, Dirichet, Parceval, Fubini...) Que dire des résultats de Proba... ? Ca m énerve, le jury a t il oublié, que nous sommes face à des élèves de Lycée... Je râle car je suis trs proche de l'admissibilité chaque année, je suis au point pour l'oral... Mais voila, on préfère " choisir " des pointures du calcul topologique... Ok, il faut savoir de quoi on parle, mais faire tout un sujet sur çaaaaa...
A t -on perdu la tête ?? Pourquoi ne pas construire un sujet sur l 'ensemble du programme...??? Ou du moins une bonne partie de celui ci ???? Ma question est légitime... Mouillez vous !!!
Finalement, rien ne sert d être dans une prépa... S'organiser pour corriger ses copies et se dégager du tps pour voir et revoir les classiques... L'année prochaine c'est sur, j'arrive les mains dans les poches...
Quand je repense à certaines prestations des oraux que j'ai pu assister... Ca me laisse songeur... Vous allez dire que je l'ai mauvaise car j'ai raté mais je peux vous dire que j'accepte sans problème l'idée d'avoir échoué mais une chose me turlupine... Le plaisir, il est ou le plaisir ??? Sincérement je suis preneur de commentaires des gens heureux sur cette session...
VDM
Tof
A bientôt -
la suite des sommes partielles des 1/n n'est pas bornée!
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Pivotof : perso, cette épreuve m'a changé de mes 6èmes ! Ca m'a fait plaisir de faire des maths !
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Personnellement, moi aussi, je me suis régalée à la deuxième épreuve, car j'ai toujours trouvé ça génial la topologie, mais je comprends ce que tu veux dire....
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Merci Pivotof, ce que tu dis est exactement ce que je ressens après cette deuxième épreuve!
Il me semble que t'en as fait plutôt beaucoup à la première (en tout cas, comparé à moi), alors garde espoir pour l'admissibilité, c'est peut-être pas perdu. Moi, je vais arrêter et profiter de ma famille maintenant. -
la réponse à la question 18 se trouve dans Problème d'analyse réelle de Makarov, ... (traduit par Eric du forum) c'est l'exercice 2.5 de la page 29.
La réponse est assez longue, je ne la taperai pas désolé.
D'ailleurs dans ces pages se trouvent quelques exercices en rapport avec les thèmes du sujet.
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Bonjour!
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