Agrégation interne 2010 : Epreuve 2

Juan · January 2010

Bonjour,
voici le sujet de l'épreuve d'analyse d'aujourd'hui.

Juan · January 2010

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans ce sujet.
A la première question de la partie IV, il me semble que l'on peut montrer par deux récurrences que $\forall n \in \Z , f(q^nz)=f(z) + ng(z)$
supposons $g(z)\ne 0$
Si $|q|<1$ $\forall n \in \N , f(q^nz)=f(z) + ng(z)$
Si $|q|<1$ alors le terme de gauche tend vers $f(0)$ car $f$ est continue et le terme de droite diverge. Absurde

Si $|q|>1$ $\forall n \in \N , f(\dfrac{z}{q^n})=f(z) - ng(z)$
Si $|q|>1$ alors le terme de gauche tend vers $f(0)$ car $f$ est continue et le terme de droite diverge. Absurde

Donc pour tout $z, g(z)=0$
Je trouve donc que si, $|q|\ne1$nécessairement, $g$ est la fonction nulle (et pas seulement $g(0)=0$)
Est-ce que quelqu'un peut me dire mon erreur ?

Philippe Malot · January 2010

Tu dis : "Il me semble que l'on peut montrer..."
Comment le montres-tu ?

Juan · January 2010

Ah oui ok.
Merci

nono · January 2010

Bonjour,

Vos réactions sur le sujet ? Questions faites ?

J'ai juste une petite question : comment montre-t-on le surjectivité de Delta à la question I.3.c ? En exhibant le P tq delta(P)=Q pour Q fixé (ce que je n'ai pas réussi à faire...) ou en utilisant d'autres arguments (tel que la résolution d'un système ...), ce sur quoi j'ai bien cafouillé...

Y'a plus qu'à aller se coucher après deux journées bien remplies.... Bonne soirée.

Philippe Malot · January 2010

Bonjour, on peut essayer de se servir des questions a) et b) qui précèdent.

Julien214 · January 2010

Dans le sujet mis en lien par Juan, ne pensez-vous pas qu'il y a une erreur dans la définition de Hn(z) à la question I. 3. ?

Etait-ce le même dans le sujet original ?

Philippe Malot · January 2010

Oui, il manque des points de suspension pour indiquer un produit.

RoZe · January 2010

nono écrivait:

> Bonjour,
>
> Vos réactions sur le sujet ? Questions faites ?
>
> J'ai juste une petite question : comment
> montre-t-on le surjectivité de Delta à la question
> I.3.c ? En exhibant le P tq delta(P)=Q pour Q fixé
> (ce que je n'ai pas réussi à faire...) ou en
> utilisant d'autres arguments (tel que la
> résolution d'un système ...), ce sur quoi j'ai
> bien cafouillé...
>
> Y'a plus qu'à aller se coucher après deux journées
> bien remplies.... Bonne soirée.

J'ai utilisé la question 3.b. et j'ai changé Hn en delta(Hn+1) d'après 3.a., par linearité j'obtiens P=delta(Q) avec Q un polynome. D'où la surjectivité.

nono · January 2010

Les points de suspension étaient dans le sujet original. Merci pour ta réponse Philippe par rapport à la question I.3.... je vois (vaguement) l'idée....

Philippe Malot · January 2010

RoZe a donné la réponse ci-dessus ! ;-) Tu utilises la linéarité de $\Delta$, et le fait qu'on a une somme finie dans la question b). $\displaystyle Q=\sum_{n=0}^{+\infty} (\Delta^n P)(0) H_{n+1}$ fait donc l'affaire.

lafayette1 · January 2010

Bonjour,
comment montrait-on l'égalité 2) montrant que (H_n) est une famille génératrice ?
merci d'avance.

RoZe · January 2010

lafayette écrivait:

> Bonjour,
> comment montrait-on l'égalité 2) montrant que (Hn)
> est une famille génératrice ?
> merci d'avance.

Désolée je ne sais pas faire marcher Latex ici...

alors j'ai dit que $(H_n)$ est une base donc il existe une famille $a_0, a_1, .... $ tq $P=\sum_{n=0}^{+\infty}a_iH_i$.
Ensuite j'ai composé par $\Delta^k$ évalué en 0, par linéarité, et d'après 3.a il ne reste que le terme en $H_k$, soit $a_k=\Delta^k(P)(0)$.

Je ne sais pas si c'est clair....

lafayette1 · January 2010

en fait, c'est le fait que ce soit une base qui me pose problème : la liberté est très facile mais l'aspect générateur m'échappe...

chris93 · January 2010

Oui, moi aussi...pourtant je suis sûr que c'est pas si compliqué. Mais sur le moment, je suis resté complètement bloqué.

Sinon, j'ai trouvé le sujet abordable, assez progressif et (très) calculatoire. Je n'ai pas le sujet sous les yuex mais il me semble avoir fait :
- quasiment toute la partie I,
- un peu les autres parties.

RoZe · January 2010

Alors bon je suis pas sûre de moi mais j'ai raisonné dans l'espace des polynomes de degré inférieur ou égal à k, dans lequel les k+1 premiers $H_k$ forment une base car k+1 vecteurs libres.

aleph-0 · January 2010

bonjour, je ne sais pas si c'est correct mais j'ai dit que $(1, k, k^2, ... k^n, ...)$ forment une base donc une famille génératrice de P et que chacun des $k^n$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de $(H_0, H_1, ... H_n)$, d'où $(H_0, H_1, ... H_n)$ est génératrice de P. Votre avis ?

bs · January 2010

Bonsoir,

Le texte original de C.Guichard relatif à son équation aux différences "fines".
Ref: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Paris -1887.

Mais qui est donc ce C.Guichard auteur d'un texte qui inspire autant de concepteurs de problèmes ? Merci.
[Edit: par exemple Centrale/Sup'Elec - 1980 - M- 1ère épreuve]

Amicalement.

edouardo · January 2010

Bonsoir,
L'idée pour Hn génératrice est par analogie de "dérivér" ( c'est à dire fair agir delta sur ) les deux membres de l'égalité qu'on veut montrer et on obtient la meme chose pour le polynôme de degré inférieur (delta P).
On fait donc une récurrence sur le degré de P, ce qui marche très bien avec les propriétés des Hn et on conclue que si deltaP = delta de la somme alors P= la somme à une constante prés d'aprés le noyau de delta . C'est donc bien analogue à la dérivation ...
On finit en montrant que la constante est nulle en prenant la valeur en 0.

J'étais content d'avoir trouvé cette analogie.
Est-ce que je suis clair ?

Quelle galère cette épreuve !

Ed

chris93 · January 2010

Pour Eduardo, je ne vois pas comment utiliser ton "analogie"...mais j'espère que le correcteur trouvera ta réponse judicieuse.

Il n'y a plus qu'à attendre fin mars pour être fixé. Personnellement, pensant peut-être avoir une chance (certes très minime) d'être admissible (ce serait quand même un miracle...(:D ), je vais me pencher sur les oraux. Et acheter des livres.

Bonne préparation à tous.

qadassi · January 2010

Faut pas me dire que ce machin facile de 7 pages doit se faire en 2h!

chris93 · January 2010

2h !:)o Fortiche le gars....

Quoique...un Monsieur Remarque ou Egoroffski, bien fâché...

edouardo · January 2010

En fait tu montres l'égalité proposée par récurrence sur le degré de P, polynome que tu supposes non nul car l'égalité est alors immédiate.

Initialisation : d°P=0 donc P est dans le noyau de delta donc la somme donne P(0) (car H0=1) qui est égal à P. C'est vérifié. (:D

Héredité : Soit k un entier tu supposes le résultat vrai pour les polynomes Q de degré inférieur ou égal à k.
Soit P de degré k+1, Notons Sp la somme de l'égalité qu'on veut montrer.
Alors Delta(Sp) est égal à SdeltaP(puisque Sp est une somme finie, que delta est linéaire et que delta(Hn)=Hn-1 et que delta H0=0 fais-le !).

Donc par hypothése de récurrence puisque deltaP est de dégré inférieur à P , on a deltaP = SdeltaP.

D'ou deltaP = delta (Sp). (:D Donc P-Sp est dans le noyau de delta donc c'est un polynome constant.
Or en 0 , on calcule grace à la question (a) et le symbole de kronecker, que Sp(0)=...=P(0) .

Donc la constante est nulle et l'égalité est démontrée, ce qui termine la récurrence. CQFD

Ed

chris93 · January 2010

L'égalité, pas de soucis. Mais comment montres-tu que les $(H_n)_{n \in \mathbb {N}}$ forment une famille génératrice. Tu ne peux pas utiliser l'égalité avant d'avoir montré que c'est une base ?

jojoparis19 · January 2010

Concernant le fait que les (Hn) étaient une base, j'ai simplement dit qu'ils formaient une famille étagée en degré après avoir expliqué que deg Hn = n... Je fais trop simple ou j'utilise des outils trop élaborés ?

chris93 · January 2010

J'ai utilisé cet argument pour montrer que la famille était libre, mais pour montrer qu'elle est génératrice, vu qu'on est en dimension infinie, il me semble que ce n'est pas suffisant
Bien qu'en y réfléchissant....pourquoi pas ?

Soit $P \in C[X]$ de degré n. Puisque la famille ($H_k$) (pour k compris entre 0 et n) est une famille de polynômes de degrés échelonnés donc libre, de cardinal $n+1$, c'est donc une base de $C_n[X ]$. Par conséquent, P peut s'écrire comme combinaison linéaire de polynômes $H_k$.

Si c'est valable, ça va m'énerver car j'y ai pensé pendant l'épreuve mais il y avait un "truc" qui me gênait...:X

edouardo · January 2010

Attendez un instant avez-vous lu ma preuve ?
Je ne crois pas me tromper en disant que montrer l'égalité c'est montrer que la famille (Hn) est génératrice (puisque la somme est finie) !

On ne suppose d'ailleurs rien au préalable sur (Hn) pour le montrer et c'est ce que j'ai fait dans mon précédent message .

Etant génératrice et libre (car échelonnée en degré) c'est donc une base.

L'énoncé suggérait bien d'ailleurs de montrer l'égalité avant de montrer que c'est une base avec les mots "plus précisément" .

Alors ça roule ?

did63 · January 2010

Bonjour Hn est une famille de polynomes a degré étagés c est suffisant pour que ce soit une base

edouardo · January 2010

Oui bien sur car on a une base des polynomes de degré inférieur à n et on fait la réunion pour n décrivant N !:)

nono · January 2010

Merci pour vos réponses par rapport à la question I.3.c... Je n'avais plus les yeux en face des trous hier soir, après 6 h d'épreuve (et après avoir râté deux sorties d'autoroute pour y parvenir, mais ca c'est une autre histoire !!) : j'ai compris ce matin !
Par rapport au fait que les Hn forment une base, j'ai dit comme Jojoparis19 que c'était une famille échelonnée en d° donc base... Etait-ce la réponse attendue (sûrement pas d'après ce que j'ai lu...) : c'est vrai que parfois on a du mal à savoir si un résultat peut être utilisé tel quel ou bien si il faut le redémontrer...

Bon we à tous.

geo · January 2010

bonjour

J'ai passé la première question car je bloquais avez vous des indication pour trouver l'entier n??

merci

nono · January 2010

Delta fait baisser le d° du polynome de 1 (même chose, je ne savais pas si c'était considéré "évident" ou si il fallait le redémontrer avc le binôme de Newton par exemple...)
donc si n=degP+1, on obtient (delta)^n = 0 ... (désolé, je ne maitrise pas Latex ! )

Philippe Malot · January 2010

qadassi écrivait:

> Faut pas me dire que ce machin facile de 7 pages
> doit se faire en 2h!

Il s'agit quand même de l'agrégation interne, destinée principalement à des personnes ayant plus ou moins arrêté les études pour se consacrer à l'enseignement. Evidemment, il y a des personnes qui font des préparations, mais il doit aussi y avoir des personnes qui la préparent seuls, et c'est quand même normal que le niveau des questions soit plus faible qu'à un sujet du style agrégation externe. Après, je dis peut-être des bêtises car je n'ai jamais vraiment regardé les sujets de l'agrégation interne : peut-être que celui-ci est plus simple que les années précédentes, ou plus difficile !

grego0 · January 2010

Il est toujours très facile de juger un sujet que l'on n'a pas traité et surtout dans les mêmes conditions que les candidats (fatigue, stress)

Bravo à tous ceux qui ont eu le courage de s'y frotter, peu importe le résultat

Yann18 · January 2010

Pour la famille des Hn¨: c'était une famille à degrés échelonnés donc une base de P !

Norbert Verdier · January 2010

A la question de BS, qui était C. Guichard? Je mets un billet sur un certain Claude Guichard ayant intégré Ulm en 1880 (en section sciences évidemment). Ses articles du Bulletin de la société mathématique de France indique qu'il sévissait à Rennes. Il doit y avoir moyen d'en savoir plus. Amicalement. Norbert.

Norbert Verdier · January 2010

et Guichard aurait été entre Darboux et Elie Cartan à la chaire de géométrie supérieure de la faculté des sciences de Paris, entre 1918 et 1924. C'est donc du lourd! Amicalement. N!

qadassi · January 2010

@grego: je connais certains profs qui préparent l'analyse des opérateurs dans les algèbres stellaires et leurs représentations, lâchés dans la savane africaine, sans manuel ni bibliothèque avec seulement un fascicule de 100 pages.........sauf que eux ont le soleil

kioups · January 2010

qadassi : ouh ouh, c'est l'agrégation interne là ! L'analyse des opérateurs dans les algèbres stellaires est très largement au-dessus de notre humble niveau, désolé de vous décevoir !

bs · January 2010

Bonjour,

Merci Norbert pour ces informations relatives à Claude Guichard dont l'étude de "son" équation est l'objectif du problème d'analyse de l'agrégation interne 2010.

Amicalement.

nicolas.patrois · February 2010

Bon, ce fut un bon entraînement, un bon décrassage de neurones, mais je crains d'avoir appliqué certains théorèmes légèrement.

did63 · February 2010

Bonjour...
Voilà les épreuves sont finies....impression bizarre....une épreuve que j ai trouvé trés dure une autre excessivement facile...difficile dans ces conditions de faire la différence...
Voilà j espérais la biadmissibilité.ce sera pour une autre année

nicolas.patrois · February 2010

Au fait, les fonctions holomorphes sont au programme de l'interne ?

kioups · February 2010

nicolas.patrois
A priori, non. Du moins, je ne les trouve pas dans le programme 2009.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

chris93 · February 2010

nicolas.patrois écrivait:

> Bon, ce fut un bon entraînement, un bon décrassage
> de neurones, mais je crains d'avoir appliqué
> certains théorèmes légèrement.

Bienvenue au club

-D...Quand je pense à ce que j'ai marqué pour justifier de certaines interversions somme-integrale, j'imagine la tête du correcteur ::o

kioups · February 2010

chris93 : gnarf !! Toi aussi, t'as voulu prendre ton crayon rouge pour rayer tes âneries ?

chris93 · February 2010

:-( Bah sur le moment, tellement concentré, je ne me suis pas rendu compte que j'écrivais des âneries !!! J'espère au moins ne pas en avoir écrit beaucoup...