prolongement homéomorphisme
dans Concours et Examens
Bonjour
il existe de nombreux résultats généraux sur les prolongements de fonctions:
prolongement d'applications continues, uniformément continues, formes linéaires continues, isométries etc
Existe-t-il un théorème de prolongement homéomorphe d'homéomorphisme entre deux espaces.
Ce qui me fait poser cette question est la remarque suivante issue d'un livre d'analyse complexe (Amar et Matheron) concernant le prolongement homéomorphe de la projection stéréographique $\pi_N$ de pôle $N$ (nord) définie sur $\mathbb S^2-{N}$ sur le plan $\C$ (identifié au plan des $(x,y,0) \subset \R^3$):
La compacité de la sphère $\mathbb S^2$ entraine l'existence d'un prolongement homéomorphe de $\pi_n$ à toute la sphère
J'ai vu le résultat suivant : toute application continue $f$ sur un espace $X$ séparé telle que $f(x)$ admet une limite lorsque $x$ sort de tout compact admet un unique prolongement à son compactifié d'Alexandroff.
Ce résultat est-il suffisant pour notre cas de figure ?
J'ai du mal à concevoir la notion de "limité sortant de tout compact" dans notre cas.
Peut-on s'affranchir de tout raisonnement à base de coordonnées ?
Ecrire l'expression analytique (c'est la restriction d'une inversion) de la projection voir que le prolongement qu'on définit est continu et qu'il en est de même de sa réciproque, le tout en manipulant les voisinage de $\infty$
[Merci à LeBarbeurRasant pour la correction du LaTeX. AD]
il existe de nombreux résultats généraux sur les prolongements de fonctions:
prolongement d'applications continues, uniformément continues, formes linéaires continues, isométries etc
Existe-t-il un théorème de prolongement homéomorphe d'homéomorphisme entre deux espaces.
Ce qui me fait poser cette question est la remarque suivante issue d'un livre d'analyse complexe (Amar et Matheron) concernant le prolongement homéomorphe de la projection stéréographique $\pi_N$ de pôle $N$ (nord) définie sur $\mathbb S^2-{N}$ sur le plan $\C$ (identifié au plan des $(x,y,0) \subset \R^3$):
La compacité de la sphère $\mathbb S^2$ entraine l'existence d'un prolongement homéomorphe de $\pi_n$ à toute la sphère
J'ai vu le résultat suivant : toute application continue $f$ sur un espace $X$ séparé telle que $f(x)$ admet une limite lorsque $x$ sort de tout compact admet un unique prolongement à son compactifié d'Alexandroff.
Ce résultat est-il suffisant pour notre cas de figure ?
J'ai du mal à concevoir la notion de "limité sortant de tout compact" dans notre cas.
Peut-on s'affranchir de tout raisonnement à base de coordonnées ?
Ecrire l'expression analytique (c'est la restriction d'une inversion) de la projection voir que le prolongement qu'on définit est continu et qu'il en est de même de sa réciproque, le tout en manipulant les voisinage de $\infty$
[Merci à LeBarbeurRasant pour la correction du LaTeX. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question. En tout cas si on a deux espaces topologiques $X$ et $Y$ homéomorphes via $f$, alors leurs compactifiés d'Alexandroff sont homéomorphes via le prolongement trivial de $f$. Si j'appelle $\omega_{X}$ le point à l'infini de $X$ et $\omega_{Y}$ celui de $Y$, il suffit de poser $f(\omega_{X})=\omega_{Y}$. Ce prolongement est une bijection entre compactifiés. Comme on est dans des compacts, il suffit de vérifier qu'il est continu en $\omega_{X}$. Or un voisinage ouvert de $\omega_{Y}$ est de la forme $V=\{\omega_{Y}\}\cup (Y\setminus K)$ où $K$ est un compact de $Y$. Donc $f^{-1}(V)=\{\omega_{X}\}\cup (X\setminus f^{-1}(K))$ est un voisinage de $\omega_{X}$ puisque $f^{-1}(K)$ est compact.
Pour les compactifiés de Stone-\v Cech, on a le même résultat directement à partir de la propriété universelle.
-je vais chipoter un peu, mais dans le cadre d'un espace topologique général, la compacité n'implique pas la fermeture (il aurait fallu rajouter comme hypothèse la séparation) et donc ça coince pour la continuité de la réciproque
-dans ton raisonnement on peut considérer la sphère comme le compactifié d'Alexandroff de cette même sphère privée de son pole nord
-sinon existe-t-il des théorèmes généraux de prolongement d'homéomorphismses
-Concernant le compactifié s Stone Cech ya-t-il un moyen de le définir simplement sans passer pas les ultrafiltres, quitte à ce que ce soit un cas particulier mais au moins plus intuitif. J'ai vu que ca servait pour les algèbres de fonctions continues. Mais encore...
- oui.
- pour moi, cette question n'est pas claire. Pour rester dans le contexte des compactifications, si tu prends deux compactifiés différents, non homéomorphes, tu ne peux pas prolonger l'identité. Tout ça pour dire que je ne conçois pas bien quelle tête un théorème général pourrait avoir.
- le compactifié de Stone-Cech n'est pas intuitif quoi qu'on fasse (sauf peut-être pour un ensemble fini). La construction générale pour $X$ Tychonoff consiste à prendre l'ensemble $C$ des fonctions continues de $X$ dans $[0,1]$ et d'associer à $x$ l'élément $(f(x))_{f\in C}\in [0,1]^C$, muni de la topologie produit, puis de prendre l'adhérence de l'image de cette application... c'est quand même l'extrême limite de l'intuition.