L'oral de l'X de Hermite en 1842

Bonjour,

Enoncé mal lu, j'hésite à supprimer... voici néanmoins le cas pour l'équation de degré $4$,

Par exemple, soit: $P(x)=x^4+qx^3+q^2x^2+q^3x+k$, on cherche $P(x)=0$.
$P'(x)= 4x^3+3qx^2+2q^2x+q^3$
$P"(x)= 12x^2+6qx+2q^2= 2(6x^2+3qx+q^2)$

Le discriminant de $P"$ est $-15x^2 <0$, donc $P"$ toujours $>0$

$P'$ est strictement croissant et ne s'annule qu'une fois, disons en $x_0$,
Le signe de $P'$ est négatif entre $]- \infty,x_0]$, et positif ensuite,
ainsi $P$ est décroissant sur $]- \infty,x_0]$, puis croissant,
et, selon la valeur de $P(x_0)$:
-->$P(x_0)<0$,$P$ posséde deux racines réeelles, donc deux imaginaires,
-->$P(x_0)=0$,$P$ posséde une racine réeelle, donc trois imaginaires,
-->$P(x_0)>0$,$P$ ne posséde pas de racine réeelle, mais quatre imaginaires.

Maintenant , faudrait examiner le cas : $P(x)=ax^4+x^3+qx^2+q^2x+q^3$...

J'avais interprété qu'il s'agissait de plus d'une équation de degré $4$, j'en suis confus;
dans tous les cas, bonne journée à tous.

Merci franckduh, c'est effectivement proche du n'importe quoi :S m'est avis qu'il est préférable que j'aille pédaler! de plus, il fait très beau.
Bonne journée à tous.

Voici l'article en fichier joint, pour que tout le monde puisse s'instruire..

Aleg, le Robin des Bois des maths

Ritchie