question sur un dossier de capes

Bonjour.
Voila j'ai un dossier de capes à préparer la question est censée être d'un niveau terminal mais je bloque dessus j'ai essayé par contraposition, et fait d'autres raisonnements mais la seule réponse que j'ai ressemble plus à du bidoullage qu'à autre chose pourriez vous me dire s'il vous plait ce que vous en pensez.

Voici l'énoncé et la question qui me pose soucis:
on a deux propriétés:
(F_n): n²<=2ⁿ et (P_n): n<2^n-1

Soit n un entier naturel, montrer que si (F_n) et (P_n) sont vraies alors (F_n+1 est vraie.

Voici mon raisonnement:

notre but est de montrer que si
(F_n): n²<=2ⁿ et (P_n): n<2^n-1
alors (n+1)²<=2ⁿ⁺¹ ou encore n²+2n+1-2ⁿ⁺¹<=0

(F_n) est vraie donc n²<=2ⁿ
(P_n) est vraie donc n<2^n-1 c'est à dire que l'on peut écrire n sous la forme: il existe un entier m>=1 tel que n=2^n-1-m
on en déduit 2n=2ⁿ-2m

on a donc n²+2n<=2ⁿ+2ⁿ-2m
soit n²+2n+1-2ⁿ⁺¹<=2ⁿ⁺¹-2m+1-2ⁿ⁺¹
par conséquent (n+1)²-2ⁿ⁺¹<=-2m+1
et -2m+1<0 car m est un entier tel que m>=1
on a finalement (n+1)²-2ⁿ⁺¹<0 cqfd

plusieurs soucis dans mon raisonnement tout d'abord je change juste le n qui m'embète et pas les autres deuxièmement à la fin j'arrive à une inégalité mais stricte.
Je pense vraiment que c'est du bidoullage quel est votre avis ? Pensez vous qu'il faudrait faire un autre raisonnement ?

Merci beaucoup