Contraction, différentielle et norme (nouveau)
dans Concours et Examens
ATTENTION J'AI RAJOUTE UNE DEUXIEME PARTIE
Bonjour
{\bf 1ère partie} :
Je voudrais montrer que le système
\qquad \begin{cases}
x&=\frac 1 2 \sin(x+y) \\
y&=\frac 1 2 \cos(x-y)
\end{cases} \quad admet une solution unique sur $\R^2$
Il est clair qu'on pense à un point fixe. Soit $f$ la fonction associée à notre problème de point fixe.
J'ai commencé par majorer $||f(x,y)-f(x',y')||$ avec de la trigonométrie. Malheureusement je tombe sur $||(x,y)-(x',y')||$ comme majorant.
Je suis alors parti sur l'inégalité des accroissement finis. Je suis amené à calculer la norme de la différentielle en un point.
Je trouve : $\mathrm df_{(x,y)}(a,b)= \frac 1 2\big(\cos(x+y)(a+b), \frac 1 2\sin(x-y)(b-a)\big)$
dont je cherche à majorer la norme. On prendra par exemple comme norme la norme somme des modules de coordonnées. Si j'y vais de manière brutale je trouve comme majorant : $\frac 1 2(|a+b|+|b-a|)$
Et la pour $|a|+|b|=1$ cette expression est encore majorée par $1$ et donc re-zut la majoration est un tout petit peu trop forte pour pouvoir avoir la contraction. Une idée ?
Sur le net j'ai trouvé: $||\mathrm df_{(x,y)}||=(1-\sin(2x)\sin(2y))/4$ Comment montrer un truc pareil?
Vous connaissez des bouquins où l'on est confronté à ce genre d'exos ?
{\bf 2ème partie} :
Mon problème est que le th. du point fixe est lié à la norme de la différentielle qu'on voudrait strictement plus petite que 1 et que cette norme dépend...de la norme utilisée!
Supposons que l'on est confronté à un problème de point fixe:
1°) Des normes subordonnées il y en a beaucoup. Ce n'est pas parce que ca ne marche pas avec l'une que ca ne marchera pas avec une autre
2°) Pire encore, ce n'est pas parce que ça ne marche avec aucune norme subordonnée qu'il n'existe pas de norme pour laquelle cela marcherait (quoique ça c'est à voir de plus près en dimension finie car on a l'équivalence des normes).
3°)Une fois que l'on a montré l'existence du point fixe, l'application de la méthode de Newton (par exemple) ne fait pas intervenir la norme (sauf pour estimer l'erreur), puisqu'il s'agit d'appliquer une suite récurrente et que les nombres obtenus au fur et à mesure de l'algorithme ne dépendent pas de la norme (et d'ailleurs en dim 2 comme ic les normes étant équivalentes la convergence pour l'une entraine la convergence pour l'autre).
Le problème me paraît très compliqué posé en termes généraux.
C'est pour cela que je cherche des exemples (en dimension 2 ou 3 maximum) dans lesquels par exemple si 2°) est vrai trouver un exemple où il n'y a contraction pour aucune norme subordonnée mais il existe une norme pour laquelle il y a contraction.
Bonjour
{\bf 1ère partie} :
Je voudrais montrer que le système
\qquad \begin{cases}
x&=\frac 1 2 \sin(x+y) \\
y&=\frac 1 2 \cos(x-y)
\end{cases} \quad admet une solution unique sur $\R^2$
Il est clair qu'on pense à un point fixe. Soit $f$ la fonction associée à notre problème de point fixe.
J'ai commencé par majorer $||f(x,y)-f(x',y')||$ avec de la trigonométrie. Malheureusement je tombe sur $||(x,y)-(x',y')||$ comme majorant.
Je suis alors parti sur l'inégalité des accroissement finis. Je suis amené à calculer la norme de la différentielle en un point.
Je trouve : $\mathrm df_{(x,y)}(a,b)= \frac 1 2\big(\cos(x+y)(a+b), \frac 1 2\sin(x-y)(b-a)\big)$
dont je cherche à majorer la norme. On prendra par exemple comme norme la norme somme des modules de coordonnées. Si j'y vais de manière brutale je trouve comme majorant : $\frac 1 2(|a+b|+|b-a|)$
Et la pour $|a|+|b|=1$ cette expression est encore majorée par $1$ et donc re-zut la majoration est un tout petit peu trop forte pour pouvoir avoir la contraction. Une idée ?
Sur le net j'ai trouvé: $||\mathrm df_{(x,y)}||=(1-\sin(2x)\sin(2y))/4$ Comment montrer un truc pareil?
Vous connaissez des bouquins où l'on est confronté à ce genre d'exos ?
{\bf 2ème partie} :
Mon problème est que le th. du point fixe est lié à la norme de la différentielle qu'on voudrait strictement plus petite que 1 et que cette norme dépend...de la norme utilisée!
Supposons que l'on est confronté à un problème de point fixe:
1°) Des normes subordonnées il y en a beaucoup. Ce n'est pas parce que ca ne marche pas avec l'une que ca ne marchera pas avec une autre
2°) Pire encore, ce n'est pas parce que ça ne marche avec aucune norme subordonnée qu'il n'existe pas de norme pour laquelle cela marcherait (quoique ça c'est à voir de plus près en dimension finie car on a l'équivalence des normes).
3°)Une fois que l'on a montré l'existence du point fixe, l'application de la méthode de Newton (par exemple) ne fait pas intervenir la norme (sauf pour estimer l'erreur), puisqu'il s'agit d'appliquer une suite récurrente et que les nombres obtenus au fur et à mesure de l'algorithme ne dépendent pas de la norme (et d'ailleurs en dim 2 comme ic les normes étant équivalentes la convergence pour l'une entraine la convergence pour l'autre).
Le problème me paraît très compliqué posé en termes généraux.
C'est pour cela que je cherche des exemples (en dimension 2 ou 3 maximum) dans lesquels par exemple si 2°) est vrai trouver un exemple où il n'y a contraction pour aucune norme subordonnée mais il existe une norme pour laquelle il y a contraction.
Réponses
-
S'il y a une solution, elle se trouve dans $[-1/2,1/2] \times [-1/2,1/2]$. Tu dois sans doute pouvoir réduire encore les bornes des intervalles de façon à ce que ce soit contractant, non?
-
Tu peux poser $x+y=s$, $x-y=t$, d'où le système équivalent
$$
\left\{\begin{array}{lcr}
s+t&= &\sin s \\
s-t&=&\cos t
\end{array}\right.
$$
d'où $t=\sin s-s$ et il ne te reste plus qu'à étudier la fonction
$$s\mapsto 2s-\sin s-\cos(\sin s-s)$$
pour voir qu'elle n'a qu'une racine réelle. -
J'ai trouvé sur le net une indication
$||df_{(x,y)}||= \dfrac{1-\sin(2x)\sin(2y)}{4}$ ce qui permet de trivialement majorer par $\frac 1 2$
Mais je ne vois pas d'où ça sort cette norme -
\c Ca paraît un petit peu suspect car pour $x=y$, la première composante de $f$ est $\frac12\sin(2x)$ qui ne sera jamais strictement contractante au voisinage de $0$, pour aucune norme, du moins me semble-t-il. Ou je divague ?
Elle ne te plaît pas ma fonction d'une seule variable ? -
Remarque: non elle ne me plait pas ta fonction!
En revanche je viens de trouver une majoration. Il suffit de prendre la norme euclidienne et tout baigne! On majore alors facilement (trivialement) par $\sqrt2/2$. COmme quoi le choix d'une norme n'est pas anodin.
Reste maintenant la question subsidiaire concernant le calcul exact de la norme de la différentielle en (x,y) que je viens de donner. Pour info. malgré le libellé de mon fil c'était la question que je me posais au départ, car c'est comme cela qu'est libellé l'exo que j'ai trouvé la contraction devenant alors une conséquence imlmédiate de ce calcul exact -
Donc si je te suis bien (je ne suis pas sûr d'avoir compris ta majoration), $|\frac12 \sin(2x)-\frac12\sin(2x')|\le \frac1{\sqrt2}|x-x'|$ ? Je ne sais pas, des goûts et des couleurs, mais je préfère ma fonction d'une seule variable.
-
Ok, erase and rewind. J'ai rien dit plus haut, contrairement aux apparences. :-(
Tu as raison, e=mc3, même si tu n'aimes pas ma fonction. -
Pour Remarque
$||df_{(x,y)}(a,b)}||_2 \leq \frac{\sqrt 2}{2} \sqrt{a^2+b^2}$ et on conclut
Ce qui m'intéresse maintenant c'est de montrer que
$||df_{(x,y)}||=\dfrac{1-\sin(2x)\sin(2y)}{4}$ -
C'est une application de $\R^2$ dans $\R^2$. La différentielle est représentée par la matrice
$$\nabla f=\frac12
\begin{pmatrix}
\cos(x+y)&\cos(x+y)\\
-\sin(x-y)&\sin(x-y)
\end{pmatrix}
$$
Je pose $\gamma=\cos(x+y)$, $\sigma=\sin(x-y)$. La norme $2$ de $\nabla f$ est la racine carrée du rayon spectral de $\nabla f^T\nabla f$. Or
$$\nabla f^T\nabla f=\frac14
\begin{pmatrix}
\gamma^2+\sigma^2&\gamma^2-\sigma^2\\
\gamma^2-\sigma^2&\gamma^2+\sigma^2
\end{pmatrix}
$$
dont les valeurs propres sont $\frac12\gamma^2$ et $\frac12\sigma^2$. Donc
$$\|\nabla f(x,y)\|_{2}^2=\frac12
\max\bigl(\cos^2(x+y),\sin^2(x-y)\bigr)\le \frac12
$$
mais pas mieux. Sur la droite qui m'a causé autant d'ennuis hier soir, $x=y$, $\|\nabla f(x,y)\|_{2}=\frac1{\sqrt2}|\cos(2x)|$. Je ne sais pas d'où sort ta formule. En tout cas, ce n'est pas la norme subordonnée à la norme euclidienne. -
Remarque
on peut effectivement utiliser ce résultat sur le rayon spectral, mais:
1°)il faut s'en souvenir
2°)le calcul des valeurs propres, bien que simple, ne se fait pas de tête
Toi tu raisonnes directement sur la norme d'un endomorphisme alors que moi je raisonne sur les vecteurs de $\R^2$ c'est à dire que je calcule l'image par la matrice que tu as explicitée du vecteur (a,b), j'en prends la norme euclidienne et après je majore les cos et sin par 1.
L'avantage de ta méthode en revanche est de donner une expression explicite de la norme (dans le cas où elle est subordonnée il va de soit). Alors je ne comprends pas d'où sort cette formule $||df_{(x,y)}||= \dfrac{1-\sin(2x)\sin(2y)}{4}$ -
avec un peu de trigo je transforme l'expression à trouver en:
$1/4(1-sin^2(x+y) cos^2(x-y)+cos^2(x+y)sin^2(x-y))$
est ce que c'est l'expression cachée de notre max? -
Loin de moi l'idée de vouloir faire une compétition entre nos deux \og\ méthodes \fg ! J'étais très content au départ avec ma fonction d'une seule variable que tu as cruellement snobé.
Plus sérieusement, il ne me semble pas qu'il existe une norme sur $\R^2$ pour laquelle la formule que tu donnes corresponde à la norme subordonnée. En effet, pour $(x,y)=0$, si l'on en croit cette formule $\|\nabla f\|_{m}=\frac14$ ($m$ pour mystérieuse). Or
$$\nabla f(0,0)=\frac12
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix}\hbox{ d'où }
\nabla f(0,0)\begin{pmatrix}
\xi_{1}\\
0
\end{pmatrix}
=\frac12
\begin{pmatrix}
\xi_{1}\\
0
\end{pmatrix}
$$
Pour $\xi=\begin{pmatrix}
\xi_{1}\\
0
\end{pmatrix}$, on devrait donc avoir
$$\frac12\|\xi\|_{m}=\|\nabla f(0,0)\xi\|_{m}
\le \frac14\|\xi\|_{m}.$$
C'est impossible. -
Car une norme subordonnée est toujours plus grande que la plus grande des valeurs propres en valeur absolue (le rayon spectral quand on travaille sur $\C$).
-
il semble effectivement qu'il y ait un os
-
Comme je le disais en début de fil je recherche des livres sur ce sujet.
Mon problème est que le th. du point fixe est lié à la norme de la différentielle qu'on voudrait strictement plus petite que 1 et que cette norme dépend...de la norme utilisée!
Supposons que l'on est confronté à un problème de point fixe:
1°)Des normes subordonnées il y en a beaucoup. Ce n'est pas parce que ca ne marche pas avec l'une que ca ne marchera pas avec une autre
2°)Pire encore, ce n'est pas parce que ça ne marche avec aucune norme surbordonnée qu'il n'existe pas de norme pour laquelle cela marcherait (quoique ça c'est à voir de plus près en dimension finie car on a l'équivalence des normes).
3°)Une fois que l'on a montré l'existence du point fixe, l'application de la méthode de Newton (par exemple) ne fait pas intervenir la norme (sauf pour estimer l'erreur), puisqu'il s'agit d'appliquer une suite récurrente et que les nombres obtenus au fur et à mesure de l'algorithme ne dépendent pas de la norme (et d'ailleurs en dim 2 comme ic les normes étant équivalentes la convergence pour l'une entraine la convergence pour l'autre).
Le problème me paraît très compliqué posé en termes généraux.
C'est pour cela que je cherche des exemples (en dimension 2 ou 3 maximum) dans lesquels par exemple si 2°) est vrai trouver un exemple où il n'y a contraction pour aucune norme subordonnée mais il existe une norme pour laquelle il y a contraction.
Je me permets de rajouter ceci en début de fil cela évitera d'ouvrir un nouveau fil et je rajoute nouveau dans le titre -
Le point fixe par contraction n'est qu'un théorème de point fixe parmi d'autres. La contraction n'est absolument pas nécessaire pour avoir un point fixe.
Ceci dit, pour le point 1. Une norme subordonnée est plus grande que le rayon spectral. Si le rayon spectral de la différentielle est plus grand que 1, tu peux dire bye bye à la contraction, quelle que soit la norme. Par ailleurs, pour toute matrice $A$ et tout $\varepsilon>0$, il existe une norme matricielle subordonnée telle que $\|A\|\le \rho(A)+\varepsilon$. Evidemment, cette norme dépend de $A$ et de $\varepsilon$, donc ce n'est pas parce que le rayon spectral de la différentielle est strictement inférieur à $1$ dans l'ensemble où tu travailles que tu pourra forcément conclure à la contraction.
Pour le point 2, il me semble que tu mélanges deux choses : la norme sur l'espace pour laquelle il y a contraction ou non, et la norme sur les matrices qui lui est subordonnée, que l'on utilise avec l'inégalité des accroissements finis pour montrer qu'il y a contraction quand la norme de la différentielle est majorée par $k<1$. Dans le point fixe par contraction, on n'a pas besoin que l'application soit différentiable. En fait, c'est un résultat métrique, valable dans n'importe quel espace métrique complet, pas seulement dans $\R^n$.
Par ailleurs, dans le cas $\R^n$ muni d'une certaine norme + application différentiable, tu n'as peut-être pas besoin d'une norme subordonnée mais, pour appliquer l'inégalité des accroissements finis, tu as besoin d'une norme sur les matrices telle que $\|Az\|\le\|A\|\|z\|$. Toute norme utile doit donc être plus grande qu'une norme subordonnée. Prendre une norme non subordonnée n'arrangera donc pas les choses du point de vue de la contraction, sauf si elle est plus facile à calculer et toujours majorée par un $k<1$.
Pour le point 3, il n'y a effectivement pas de rapport direct entre point fixe contractant et méthode de Newton pour calculer ce point fixe. La méthode de Newton calcule une racine d'une fonction à l'aide d'un point fixe d'une application auxiliaire super contractante. Mais les deux points fixes en question n'ont aucun rapport entre eux. -
Allez j'en rajoute une couche:
la majoration natuelle consiste à passer par l'inégalité des accroissements finis. Mais rien ne prouve que cette inégalité est optimale, même pour une norme donnée. Avez vous un exemple de fonction contractante par exemple pour la norme euclidienne mais telle que l'inégalite des accroissements finis (pour cette même norme) donnne une k lipshitzinarité avec $k \geq 1$ -
" Une norme subordonnée est plus grande que le rayon spectral. "
il faut lire
" Une norme subordonnée ou non est plus grande que le rayon spectral. "
"Par ailleurs, pour toute matrice $A$ et tout $\varepsilon>0$, il existe une norme matricielle subordonnée telle que $\|A\|\le \rho(A)+\varepsilon$. Evidemment, cette norme dépend de $A$ et de $\varepsilon$, donc ce n'est pas parce que le rayon spectral de la différentielle est strictement inférieur à $1$ dans l'ensemble où tu travailles que tu pourra forcément conclure à la contraction. "
ce qui nous intéresse c'est l'existence du point fixe, donc l'existence d'une norme pour laquelle il y a contraction fera notre plus grand bonheur. Et donc si le rayon spectral est strictement plus petit que 1 je me fais un plaisir de prendre la norme quadratique (égale au rayon spectral) pour conclure à l'existence de ce point fixe. -
Euh non, on parle du rayon spectral de la différentielle, pas de la racine carrée du rayon spectral de $\nabla f^T\nabla f$. Et si, l'inégalité des accroissements finis est essentiellement optimale pour la norme considérée : prends des segments de plus en plus petits. Et fais le raisonnement inverse : si l'application est $k$-lipschitzienne pour une certaine norme, qu'en déduis-tu sur la norme subordonnée correspondante de la différentielle ?
-
Pour répondre sur les bouquins, tu dois certainement connaitre, mais il y a un ou deux exos comme ça dans Rouvière.
Sinon un sujet d'agrég pas très vieux contient pas mal d'inégalités dans ce genre, mais je me suis empressé de le jeter début juillet...
Edit: c'est la partie 4 du sujet de 2004. Elle est indépendante du reste (la partie 3 est un peu imbuvable).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 27
+20 Invités