inégalité à démontrer
Bonjour
Je cherche à démontrer l'inégalité ci-dessous ( que j'ai conjecturée avec la calculatrice ) , pour n entier supérieur ou égal à 1 :
1/(n(n-1)+1) +1/(n(n-1)+3)+ ... +1/(n(n+1)-1) - 1/n > 0.
j'ai essayé par récurrence mais je n'aboutis pas.
Merci pour votre aide
Stef
Je cherche à démontrer l'inégalité ci-dessous ( que j'ai conjecturée avec la calculatrice ) , pour n entier supérieur ou égal à 1 :
1/(n(n-1)+1) +1/(n(n-1)+3)+ ... +1/(n(n+1)-1) - 1/n > 0.
j'ai essayé par récurrence mais je n'aboutis pas.
Merci pour votre aide
Stef
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Réponses
$$\sum_{k=1}^n\,\frac{1}{n(n-1)+(2k-1)}>\frac{1}{n}$$
(mais je n'ai pas réfléchi au problème).
Ou encore $\displaystyle \sum_{k=1}^n\,\frac{1}{n(n-1)+(2k-1)}>\frac{1}{n}$
La fonction $f(x)=\frac 1x $ est manifestement convexe et il suffit d'appliquer l'inégalité de Jensen et se rappeler que $\displaystyle\sum_{k=1}^n\ k = \frac {n(n+1)}2$ B-)-
Je n'y aurai pas pensé.
Merci