intégration et dérivation série de Fourier

Pour ce qui est de l'intégration terme à terme, en fait les hypothèses ne sont pas optimales (et embrouillent peut être). Il suffit que la fonction soit dans $L^2([0,T])$, l'intégrale terme à terme de la série de Fourier donne une série normalement convergente puisque $c_n/n\leq c_n^2+1/n^2$.
Il reste donc à justifier que l'on converge vers l'intégrale de $f$, c'est pas très dur (argument d'unicité des coefficients de Fourier par exemple).

Pour l'exemple 2, c'est une primitive de la série $-\sum\cos(nx)/n$ de l'autre fois, celle qui donne du $-\frac12\mathrm{Log}\, (1-\cos x)+C$. Donc effectivement, on a affaire à une fonction qui n'est pas dérivable en $0$. La série des dérivées converge dans $L^2$. Donc c'est quand même une fonction de $H^1$, mais bof, il n'y a pas là de contre-exemple à proprement parler, ou même rien de surprenant...

Il faudrait préciser ce que tu entends par \og\ continue par morceaux \fg. Si on le comprend comme $f$ a un nombre fini de points de discontinuité avec une limite à droite et une limite à gauche en ces points, alors toute primitive $F$ est continue, $C^1$ par morceaux, c'est-à-dire que sa restriction à chacun des sous-intervalles fermés est $C^1$. \c Ca doit suffire pour faire l'intégration par parties avec les théorèmes auxquels tu as droit.

Attends, il me semble que la condition $C^0$ et $C^1$ par morceaux (avec dérivées à droite et à gauche) est une condition suffisante de convergence ponctuelle, th. de Dirichlet. Elle n'a rien à voir avec une convergence normale quelconque, a priori.

Par ailleurs, la série définissant $g$ ne converge pas normalement dans $L^2$, ni dans $C^0$ (c'est bien de celle-là dont tu parles ?). Elle converge dans $L^2$ sans plus.

Mais convergence normale dans quel espace ?

Ah d'accord. J'avais oublié que l'on employait ce terme comme ça ! Chais pas pourquoi. C'est la convergence normale dans C⁰, en fait. Désolé pour le côté obtus...

Voila trois exercices sur le thème de la fonction de Weierstrass, pris dans Makarov et al., Problèmes choisis d'analyse réelle, 2nde ed.

Ex 1
Soit $f(x)=\sum\frac{n!}{2^{n!}}\sin\left(2^{n!}\pi x\right)$. Prouver que
a) $f\in\mathrm{Lip}_{\alpha}$ pour $\alpha<1$;
b) la fonction $f$ n'est nulle part dérivable.
Majorer le module de continuité de la fonction $f$.

Ex 2
Soit $\omega$ une fonction continue et croissante définie sur $\mathbb{R}_{+}$ telle que $\omega(0)=0$ et $\Omega(t)=\frac{\omega(t)}{t}$ soit décroissante pour $t>0$ et $\Omega(t)\xrightarrow[t\to0^{+}]{}+\infty$.

Prouver qu'il existe une fonction $F$ continue, nulle part dérivable et $2\pi$-périodique de la forme
\begin{equation*}
F(x)=\sum_{n\geq1}\omega\left(\frac{1}{m_{n}}\right)\sin(2\pi m_{n}x),
\end{equation*}
dont le module de continuité est en $O(\omega)$.

Ex 3
Soit $f$ une fonction périodique et non constante sur $\mathbb{R}$ appartenant à la classe $\mathrm{Lip}_{1}$.
a) Prouver que pour tout $q\in\left]0\,,\frac{1}{2}\right[$, la fonction continue
\begin{equation*}
W(x)=\sum_{n\geq1}q^{n}f(Q^{n}x)\quad(x\in\mathbb{R})
\end{equation*}
est nulle part dérivable si le paramètre $Q$ est suffisamment grand.
b) Prouver que si la suite strictement positive $\{m_{n}\}$ est telle que $m_{1}+m_{2}+\dotsb+m_{n-1}=O(m_{n})$, alors pour tout $\alpha\in\left]0\,,1\right[$, la fonction
\begin{equation*}
W_{\alpha}(x)=\sum_{n\geq1}\frac{1}{m_{n}^{\alpha}}\,f(m_{n}x)
\end{equation*}
appartient à la classe $\mathrm{Lip}_{\alpha}$, mais que ce n'est en général pas le cas pour $\alpha=1$.