Leçon 3 Oral Capes : Formule du binome
bonjour, je travaille actuellement sur la leçon 03 du capes :
03 - Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications
Je propose l'exposé suivant et j'aimerais avoir vos avis sur les différentes modifications à lui apporter.
Dans toute la suite E désigne l'ensemble à n élément {1,2,..,n}
I Combinaisons et dénombrement
Définition d'une combinaison à k élément comme partie à k éléments de E.
Définition d'un arrangement à p élément comme p-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de E
Calcul du nombre de p-arrangements ($A_n^p$) : n!/(n-p)!
Rapport du nombre de p-combinaisons ($C_n^p$) avec $A_n^p$ : $C_n^p$=$\frac{A_n^p}{p!}$
Nombre de p-combinaisons : $C_n^p=\frac{n!}{p!.(n-p)!}$
Remarque : On voit clairement que $C_n^p=C_n^{n-p}$, cela s'explique par le fait que, en considérant $H_k$ l'ensemble des parties à k éléments de E on construit $H'_k$ l'ensemble des complémentaires dans E des éléments de $H_k$. On a clairement $H'_k=H_{n-k}$ puisque : Card(A)=k <=> Card(E\A)=n-k et le complémentaire d'une partie est unique.
Triangle de pascal :
Construction d'un tableau à double entrée n/p donnant $C_n^p$ lorsque p<n+1.
On part de (1,1) qui est donné par $C_1^0$ et $C_1^1$ et on construit le n+1-uplet en utilisant la formule suivante : $C_n^p+C_n^{p-1}=C_{n+1}^p$.
Cela donne :
(1,1)
(1,2,1)
(1,3,3,1)
(1,4,6,4,1)
...
Démo de la formule : on met au même dénominateur $C_n^p$ et $C_n^{p-1}$ et on obtient bien $C_{n+1}^p$ en sommant les 2.
II Formule du Formule du binôme / Coefficients binomiaux
On appelle binôme une expression du type $(a+b)^n$ où a et b sont éléments d'un anneau commutatif A. Lorsqu'on développe $(a+b)^n$ on obtient une expression du type $\sum_{k=0}^{n}f(k,n).a^k.b^{n-k}$ et on appelle les f(k,n) coefficients binomiaux.
On montre par récurrence que $f(k,n)=C_n^p$, c'est la formule du binôme. Le passage de n à n+1 se fait en réindiçant les sommes $\sum{i=0}^{n} C^k_n.a^{k+1}.b^{n-k}$ et $\sum{i=0}^{n}C^k_n.a^{k}.b^{n+1-k}$ puis en utilisant la formule du triangle de pascal on réunis les coefficients binomiaux.
Remarque : On calcule facilement $\sum{i=0}^{n}C_n^k$ puisque cette somme n'est autre que le développement de $(1+1)^n=2^n$. Cela montre au passage que le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est $2^n$.
La formule du binôme s'applique aussi pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions $C^{\infty}$ :
$$(f.g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k.f^{(k)}.g^{(n-k)}$$
La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme précédente.
III Applications
- Calculer la probabilité de gagner au loto avec une seule grille.
Le joueur de loto doit cocher sur une grille de 49 numéros (de 1 à 49) 6 numéros. Si lors du tirage la combinaison est identique à celle de la grille du joueur, il gagne. Il s'agit donc de dénombrer les grilles possibles. Il y a $C_{49}^{6}=13 983 816$ grilles puisque cela revient à calculer le nombre de parties à 6 éléments de E=\{1,2,..,49\}. La probabilité de gagner est donc de : $\frac{1}{13 983 816}=7,2.10^{-8}$
Maintenant on s'intéresse à la probabilité de gagner sachant que l'on a jouer toutes les grilles possibles contenant 12,17 et 39. Ayant 3 numéros deja choisis (12,17,39) il nous reste à choisir 3 numéros parmis 46 soit 15 180 grilles. La probabilité de gagner devient donc $\frac{15 180}{13 983 816}=0,001$ soit environ une chance sur mille de gagner. A 1 euro la grille cela revient à 15 180 euros de mise pour environ une chance sur mille de gagner environ 1 millions d'euros
- Calculer la dimension de l'espace vectoriel E des polynômes à n variables de degré homogène k.
Une base de E est donnée par la famille F des $X_1^{i_1}...X_n^{i_n}$ avec $i_1+...+i_n=k$. Nous allons donc dénombrer cette fammile. POur cela on écrit :
X X X X X...X X X X : k fois la lettre X.
Se donner un élément de F, c'est exactement placer n-1 barres entre certains X et réciproquement.
Ex : X X | X X X | X X | | | X = $X_1^2+X_2^3+X_3^2+X_6$
Le nombres de barres est égal au nombre de variables - 1, et le nombre de X est égal à k.
Ainsi la dimension de E est donnée par $C_{n-1+k}^{n-1}$
Bon voila les grandes lignes de ce que je présenterais. Je me pose pas mal de question sur la façon dont on doit détailler certains passages. Est-ce qu'il s'agit de faire un exposé suposé compréhensible par une classe du niveau concerné, ou s'agit-il de se placer à un niveau licence (1,2 eventuellement 3) ?
Merci d'avance
T-mousss
03 - Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications
Je propose l'exposé suivant et j'aimerais avoir vos avis sur les différentes modifications à lui apporter.
Dans toute la suite E désigne l'ensemble à n élément {1,2,..,n}
I Combinaisons et dénombrement
Définition d'une combinaison à k élément comme partie à k éléments de E.
Définition d'un arrangement à p élément comme p-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de E
Calcul du nombre de p-arrangements ($A_n^p$) : n!/(n-p)!
Rapport du nombre de p-combinaisons ($C_n^p$) avec $A_n^p$ : $C_n^p$=$\frac{A_n^p}{p!}$
Nombre de p-combinaisons : $C_n^p=\frac{n!}{p!.(n-p)!}$
Remarque : On voit clairement que $C_n^p=C_n^{n-p}$, cela s'explique par le fait que, en considérant $H_k$ l'ensemble des parties à k éléments de E on construit $H'_k$ l'ensemble des complémentaires dans E des éléments de $H_k$. On a clairement $H'_k=H_{n-k}$ puisque : Card(A)=k <=> Card(E\A)=n-k et le complémentaire d'une partie est unique.
Triangle de pascal :
Construction d'un tableau à double entrée n/p donnant $C_n^p$ lorsque p<n+1.
On part de (1,1) qui est donné par $C_1^0$ et $C_1^1$ et on construit le n+1-uplet en utilisant la formule suivante : $C_n^p+C_n^{p-1}=C_{n+1}^p$.
Cela donne :
(1,1)
(1,2,1)
(1,3,3,1)
(1,4,6,4,1)
...
Démo de la formule : on met au même dénominateur $C_n^p$ et $C_n^{p-1}$ et on obtient bien $C_{n+1}^p$ en sommant les 2.
II Formule du Formule du binôme / Coefficients binomiaux
On appelle binôme une expression du type $(a+b)^n$ où a et b sont éléments d'un anneau commutatif A. Lorsqu'on développe $(a+b)^n$ on obtient une expression du type $\sum_{k=0}^{n}f(k,n).a^k.b^{n-k}$ et on appelle les f(k,n) coefficients binomiaux.
On montre par récurrence que $f(k,n)=C_n^p$, c'est la formule du binôme. Le passage de n à n+1 se fait en réindiçant les sommes $\sum{i=0}^{n} C^k_n.a^{k+1}.b^{n-k}$ et $\sum{i=0}^{n}C^k_n.a^{k}.b^{n+1-k}$ puis en utilisant la formule du triangle de pascal on réunis les coefficients binomiaux.
Remarque : On calcule facilement $\sum{i=0}^{n}C_n^k$ puisque cette somme n'est autre que le développement de $(1+1)^n=2^n$. Cela montre au passage que le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est $2^n$.
La formule du binôme s'applique aussi pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions $C^{\infty}$ :
$$(f.g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k.f^{(k)}.g^{(n-k)}$$
La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme précédente.
III Applications
- Calculer la probabilité de gagner au loto avec une seule grille.
Le joueur de loto doit cocher sur une grille de 49 numéros (de 1 à 49) 6 numéros. Si lors du tirage la combinaison est identique à celle de la grille du joueur, il gagne. Il s'agit donc de dénombrer les grilles possibles. Il y a $C_{49}^{6}=13 983 816$ grilles puisque cela revient à calculer le nombre de parties à 6 éléments de E=\{1,2,..,49\}. La probabilité de gagner est donc de : $\frac{1}{13 983 816}=7,2.10^{-8}$
Maintenant on s'intéresse à la probabilité de gagner sachant que l'on a jouer toutes les grilles possibles contenant 12,17 et 39. Ayant 3 numéros deja choisis (12,17,39) il nous reste à choisir 3 numéros parmis 46 soit 15 180 grilles. La probabilité de gagner devient donc $\frac{15 180}{13 983 816}=0,001$ soit environ une chance sur mille de gagner. A 1 euro la grille cela revient à 15 180 euros de mise pour environ une chance sur mille de gagner environ 1 millions d'euros
- Calculer la dimension de l'espace vectoriel E des polynômes à n variables de degré homogène k.
Une base de E est donnée par la famille F des $X_1^{i_1}...X_n^{i_n}$ avec $i_1+...+i_n=k$. Nous allons donc dénombrer cette fammile. POur cela on écrit :
X X X X X...X X X X : k fois la lettre X.
Se donner un élément de F, c'est exactement placer n-1 barres entre certains X et réciproquement.
Ex : X X | X X X | X X | | | X = $X_1^2+X_2^3+X_3^2+X_6$
Le nombres de barres est égal au nombre de variables - 1, et le nombre de X est égal à k.
Ainsi la dimension de E est donnée par $C_{n-1+k}^{n-1}$
Bon voila les grandes lignes de ce que je présenterais. Je me pose pas mal de question sur la façon dont on doit détailler certains passages. Est-ce qu'il s'agit de faire un exposé suposé compréhensible par une classe du niveau concerné, ou s'agit-il de se placer à un niveau licence (1,2 eventuellement 3) ?
Merci d'avance
T-mousss
Réponses
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désolé, latex ne semble pas passer...
la version sans cocher la case
"bonjour, je travaille actuellement sur la leçon 03 du capes :
03 - Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications
Je propose l'exposé suivant et j'aimerais avoir vos avis sur les différentes modifications à lui apporter.
Dans toute la suite E désigne l'ensemble à n élément \{1,2,..,n\}
I Combinaisons et dénombrement
Définition d'une combinaison à k élément comme partie à k éléments de E.
Définition d'un arrangement à p élément comme p-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de E
Calcul du nombre de p-arrangements ($A_n^p$) : n!/(n-p)!
Rapport du nombre de p-combinaisons ($C_n^p$) avec $A_n^p$ : $C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}$
Nombre de p-combinaisons : $C_n^p=\frac{n!}{p!.(n-p)!}$
Remarque : On voit clairement que $C_n^p=C_n^{n-p}$, cela s'explique par le fait que, en considérant $H_k$ l'ensemble des parties à k éléments de E on construit $H'_k$ l'ensemble des complémentaires dans E des éléments de $H_k$. On a clairement $H'_k=H_{n-k}$ puisque : Card(A)=k <=> Card(E\A)=n-k et le complémentaire d'une partie est unique.
Triangle de pascal :
Construction d'un tableau à double entrée n/p donnant $C_n^p$ lorsque p<n+1.
On part de (1,1) qui est donné par $C_1^0$ et $C_1^1$ et on construit le n+1-uplet en utilisant la formule suivante : $C_n^p+C_n^{p-1}=C_{n+1}^p$.
Cela donne :
(1,1)
(1,2,1)
(1,3,3,1)
(1,4,6,4,1)
...
Démo de la formule : on met au même dénominateur $C_n^p$ et $C_n^{p-1}$ et on obtient bien $C_{n+1}^p$ en sommant les 2.
II Formule du Formule du binôme / Coefficients binomiaux
On appelle binôme une expression du type $(a+b)^n$ où a et b sont éléments d'un anneau commutatif A. Lorsqu'on développe $(a+b)^n$ on obtient une expression du type $\sum_{k=0}^{n}f(k,n).a^k.b^{n-k}$ et on appelle les f(k,n) coefficients binomiaux.
On montre par récurrence que $f(k,n)=C_n^p$, c'est la formule du binôme. Le passage de n à n+1 se fait en réindiçant les sommes $\sum{i=0}^{n}C^k_n.a^{k+1}.b^{n-k}$ et $\sum{i=0}^{n}C^k_n.a^{k}.b^{n+1-k}$ puis en utilisant la formule du triangle de pascal on réunis les coefficients binomiaux.
Remarque : On calcule facilement $\sum{i=0}^{n}C_n^k$ puisque cette somme n'est autre que le développement de $(1+1)^n=2^n$. Cela montre au passage que le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est $2^n$.
La formule du binôme s'applique aussi pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions $C^{\infty}$ :
$$(f.g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k.f^{(k)}.g^{(n-k)}$$
La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme précédente.
III Applications
- Calculer la probabilité de gagner au loto avec une seule grille.
Le joueur de loto doit cocher sur une grille de 49 numéros (de 1 à 49) 6 numéros. Si lors du tirage la combinaison est identique à celle de la grille du joueur, il gagne. Il s'agit donc de dénombrer les grilles possibles. Il y a $C_{49}^{6}=13 983 816$ grilles puisque cela revient à calculer le nombre de parties à 6 éléments de E=\{1,2,..,49\}. La probabilité de gagner est donc de : $\frac{1}{13 983 816}=7,2.10^{-8}$
Maintenant on s'intéresse à la probabilité de gagner sachant que l'on a jouer toutes les grilles possibles contenant 12,17 et 39. Ayant 3 numéros deja choisis (12,17,39) il nous reste à choisir 3 numéros parmis 46 soit 15 180 grilles. La probabilité de gagner devient donc $\frac{15 180}{13 983 816}=0,001$ soit environ une chance sur mille de gagner. A 1 euro la grille cela revient à 15 180 euros de mise pour environ une chance sur mille de gagner environ 1 millions d'euros
- Calculer la dimension de l'espace vectoriel E des polynômes à n variables de degré homogène k.
Une base de E est donnée par la famille F des $X_1^{i_1},..,X_n^{i_n}$ avec $i_1+...+i_n=k$. Nous allons donc dénombrer cette fammile. POur cela on écrit :
X X X X X...X X X X : k fois la lettre X.
Se donner un élément de F, c'est exactement placer n-1 barres entre certains X et réciproquement.
Ex : X X | X X X | X X | | | X = $X_1^2+X_2^3+X_3^2+X_6$
Le nombres de barres est égal au nombre de variables - 1, et le nombre de X est égal à k.
Ainsi la dimension de E est donnée par $C_{n-1+k}^{n-1}$
Bon voila les grandes lignes de ce que je présenterais. Je me pose pas mal de question sur la façon dont on doit détailler certains passages. Est-ce qu'il s'agit de faire un exposé suposé compréhensible par une classe du niveau concerné, ou s'agit-il de se placer à un niveau licence (1,2 eventuellement 3) ?
Merci d'avance
T-mousss" -
Salut,
je te donne quelques commentaire comme ça, mais c'est à prendre avec des pincettes, parce que je ne sais pas très bien ce qui est attendu du candidat :
- ça me parait étrange de se limiter à un anneau commutatif. En général on applique cette formule à deux éléments d'un anneau qui commutent (par exemple pour calculer la puissance n-ième d'une matrice A=D+N avec DN=ND, N nilpotente et D diagonale, ou alors des puissances d'endomorphismes mais c'est plus compliqué). Évidemment c'est dépendant du niveau auquel tu te places, et sur ce point, je n'y connais rien.
- au niveau lycée : application à la linéarisation de formules du type sin^p(a)cos^q(a) (formule exponentielle, formule d'Euler puis binôme).
- sur la preuve de la formule du binôme pour laquelle tu donnes quelques indications, il me semble que tu vas surtout démontrer par récurrence la formule du binôme mais ce que tu dis dans ton énoncé c'est que si (a+b)^n=sum_{k=0}^n f(n,k)a^k b^(n,k), alors f(n,k)=Cnk (dit autrement : la preuve que tu donnes me semble démontrer que les coefficients du binôme conviennent, mais ton énoncé dit que ce sont les seuls, ce n'est peut-être pas si évident pour un anneau A quelconque). -
Ok merci beaucoup pour ton intervention
- Effectivement prendre un anneau commutatif est quelque peu restrictif, cela dit vu que le niveau n'est pas censé dépasser celui de terminale, les élèves ont peu (pas du tout) d'exemples d'anneaux non commutatifs (mais il me semble effectivement important de souligner qu'il suffit simplement que les 2 éléments commutent).
- Pour les linéarisations de sin, cos, c'est une bonne idée, je pense que ça entrerait bien dans les applications.
- Sinon pour l'unicité des coefficients binomiaux, ça se montre facilement dans le cas Card(A) infini : On suppose qu'il existe g(k,n) tel que, pour tout a et tout b dans A, $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}g(k,n).a^k.b^{n-k}$. On considère désormais A² qui est un anneau ayant une infinité d'éléments, et on considère le polynôme suivant :P(x,y)=(f(0,n)-g(0,n)).y^n + (f(1,n)-g(1,n)).x.y^(n-1) + ... + (f(n-1,n)-g(n-1,n)).x^(n-1).y + (f(n,n)-g(n,n)).x^n
Et on remarque que pour tout couple (a,b) de A², P(a,b) = 0. Comme A² est infini, on en déduit que P est le polynôme nul et donc que f(k,n)=g(k,n) qqsoit k.
Dans le cas d'un anneau A de cardinal m, la même démonstration s'adapte si n<m. Pour le cas n>m-1 je ne vois pas comment le prouver en utilisant les polynômes.
Cela dit, la construction elle-même suggère que f(k,n) est unique puisqu'il s'agit de compter des éléments lors d'un développement, ce développement étant toujours exécuté de la même manière : en effet (a+b)...(a+b)=b..b + ab..b + bab..b + .. + b..ba + aab..b + .. + a..a et alors comme a et b commutent on cherche à compter les expressions possédant exactement k a et donc (n-k) b. L'unicité semble alors évidente puisque le nombre d'expressions ayant k a ne dépend que de k et n et pas de a ni de b.
Merci beaucoup pour tes remarques et à bientôt (:P)
t-mouss -
Moi je mettrai les arrangements en prérecquis, on peut aussi glisser en application la theoreme de fermat p premier et a entier alors a puissance p congru à a mod p, ou encore que cos(nx) est un polynome de degré n en cos(x) (ok c'est de la linéarisation) ou dans un jeu de 32 cartes combien ya til de mains de 5 cartes avec deux valets et une dame, par exemple des trucs simples mais qui illustrent parfaitement la chose......Apres parler des polynomes homogenes c'est dangereux et limite agreg..Enfin je trouve..
-
" celui de terminale, les élèves ont peu (pas du tout) d'exemples d'anneaux non commutatifs "
La composé de deux fonctions se voit en 1S, et en spé maths, on fait des composés de rotations et d'homothéties. Il est bon (voir nécessaire) de glisser que la composé de deux fonctions (le mot application n'étant malheureusement plus au programme) n'est en général pas commutative. -
merci beaucoup pour vos réponse...
Effectivement la non-commutativité est évoquée, mais de là à ce que les élèves comprennent qu'on peut traiter nombres et fonctions de la même manière (à savoir comme éléments d'une structure algèbrique). Mais bon je note.
Sinon pour le coup des polynomes homogènes je ne trouve pas ca limite agreg étant donné qu'il ne s'agit que de dénombrement (on peut facilement remplacer polynome homogènes par paquet de n maillots de foots de p couleurs différentes) et surtout l'approche est franchement intéressante car peu intuitive. Ca permet de repondre en 2 lignes à un problème qui nécessiterait de nombreux calculs si on le faisait à la main...
Mais bon disons que c'est à garder sous le coude au cas ou la leçon se passe bien et qu'on a l'occasion de le placer...
Bon courage à ceux qui doivent encore attendre qques jours avant la date fatidique (comme moi par ex 8-)
t-mouss -
En même temps deux éléments qui commutent engendrent un anneau commutatif, donc la restriction n'en est pas vraiment une...
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