Exponentielle Equation fonctionnelle

Daivernon · June 2007

Bonjour à tous, voilà je prépare la lecon sur la caracterisation de l'exp par l'equation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y)

J'ai posé E:ensemble des fonctions exp
F:ensemble des fonctions continue en 0,verifiant l'eq fonctionnelle et non identiquement nulle

Je cherche à mq E=F
En prenant f ds F, j'ai réussi à prouver la continuité de f, le fait qu'elle soit positive que f(0)=1 mais je ne vois pas comment démontrer sa dérivabilité et n'ayant pas accès à une BU ou autres je voulais savoir si quelqu'un pouvait me guider sur cette preuve

Cordialement
Daivernon

Aleg · June 2007

puisque $f$ est strictement positive, en psoant $g(x)=\ln f(x)$, on est ramené à l'équation fonctionnelle bien connue $g(x+y)=g(x)+g(y)$ dont les solutions (continues) sont $g(x)=ax$.

Daivernon · June 2007

Bon j'ai trituré ca un peu dans tous les sens et je voudrais savoir si je finis pas par une absurdité
Si j'appelle F la primitive de f qui s'annule en 0 (elle existe car f continue) et si j'aboutis à une relation du genre

pr tt x f(x)=(F(x+1) - F(x)) / F(1) j'ai le droit de dire que comme f est dérivable f l'est aussi ou pas?

Merci
Daivernon

Liautard · June 2007

Bonjour

Toute fonction continue ,non nulle,de R dans R qui vérifie:

f(x+y)=f(x).f(y) est de la forme: x vers exp(ax)

En effet posons f(1)=A, A>0 ,alors f(r)=A^r pour tout rationnel

Comme exp(log(A)x) coincide avec f sur les rationnels ,elle est égale à f

Cordialement

Daivernon · June 2007

Oui je vois pour comment terminer mon exposé avec cette égalité sur les rationnels puis passer par la densité de Q ds R (avec une suite de rationnels) mais j'aimerais savoir si la relation que j'obtenais me permettait de conclure sur la derivabilité de f à savoir

pr tt x de R, f(x)=(F(x+1) - F(x)) / F(1) avec cette égalite ai-je le droit de dire que comme F est dérivable f l'est aussi ou pas (où F est une primitive de f sur R)

Cordialement

Aleg · June 2007

"avec cette égalite ai-je le droit de dire que comme F est dérivable f l'est aussi" : oui, c'est clair : composition puis combinaison linéaire de fonctions dérivables.
nb : visiblement, la solution que j'avais proposée ne te plaît pas...

Exponentielle Equation fonctionnelle

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