arc paramétré et sens de parcours

Bonjour à tous.

La question qui se pose est : qu'est-ce qui est nécessaire et qu'est-ce qui est contingent ?

Quand je faisais cours sur ce sujet c'était à un niveau élémentaire, disons L1 avec le capes en objectif.

Je définissais la notion d'arc paramétré et celle d'arc géométrique (l'image de l'arc paramétré). Ce qui m'intéresse c'est l'arc géométrique, le reste est contingent et, pire peut introduire des propriétés artificielles avec des paramétrages un tant soit peu tératologiques.

Donc je définissais rapidement la notion d'arc de classe $\mathcal C^n$ en montrant au passage que cela ne dépendait pas du repère cartésien du plan. Ensuite, je définissais la notion d'arc rectifiable pour des paramétrages propres, puis le théorème montrant qu'un arc $\mathcal C^1$ est rectifiable. Définissant alors l'abscisse curviligne, je montrais le théorème "libérateur" ;
\begin{quote}
Pour tout arc de classe~$\mathcal C^n$ {\it sans points stationnaires} et toute abscisse curviligne $s$ la relation entre le paramètre et l'abscisse est un $\mathcal C^n$-difféomorphisme.
\end{quote}
Je qualifie ce théorème de "libérateur" car il nous affranchit de tout ce que le paramétrage peut apporter de contingent.

Arrivé à ce point, je rappelais que si l'on prenait deux paramétrages de classe $\mathcal C^n$, on obtenait un homéomorphisme entre les intervalles sources de ces paramétrages et qu'un homéomorphisme entre deux intervalles est monotone. D'où l'orientation de l'arc géométrique.

Je suis bien d'accord que l'orientation peut se faire grâce à la seule considération de l'abscisse curviligne, mais justement, je ne tiens pas à considérer une abscisse curviligne comme autre chose qu'un paramétrage parmi d'autres.

Bruno