oral capes leçon exponentielles

"comment montre-t-on que $ a^{r}.a^{t}=a^{r+t}$ où $ t$ et $ r$ sont des rationnels"

Tout repose sur la définition $a^{p/q}=(a^{1/q})^p$ où $p\in \Z$, $q\in \N^*$, et $a^{1/q}$ est l'unique réel positif $b$ tel que $b^q=a$, et biensûr sur les propriétés (supposées acquises) des puissances entières.

En introduisant $r=\frac{p}{q}$ et de même $r'=\frac{p'}{q'}$, on a alors $r=\frac{pq'}{qq'}$ et $r'=\frac{qp'}{qq'}$, puis
$$a^ra^{r'}=a^{pq'/qq'}a^{qp'/qq'}=(a^{1/qq'})^{pq'}\,(a^{1/qq'})^{qp'}=(a^{1/qq'})^{pq'+qp'}=a^{p/q+p'/q'}$$

pour ta deuxième question, je n'en comprends pas la finalité (d'autant qu'il me paraît très imprudent, au CAPES, de se lancer dans l'étude de fonctions qui ne sont pas définies sur un intervalle réel)