oral capes leçon exponentielles
dans Concours et Examens
Bonjour
Dans la leçon les exponentielles j'utilise les puissances rationnelles d'un nombre réel positif
or comment montre-t-on que $a^{r}.a^{t}=a^{r+t}$ où $t$ et $r$ sont des rationnels
et comment montre-t-on que la fonction $a^{x}$ définie sur $\mathbb{Q}$ est croissante si $a>1$ et décroissante si $a< 1$ ?
merci
Dans la leçon les exponentielles j'utilise les puissances rationnelles d'un nombre réel positif
or comment montre-t-on que $a^{r}.a^{t}=a^{r+t}$ où $t$ et $r$ sont des rationnels
et comment montre-t-on que la fonction $a^{x}$ définie sur $\mathbb{Q}$ est croissante si $a>1$ et décroissante si $a< 1$ ?
merci
Réponses
-
"comment montre-t-on que $ a^{r}.a^{t}=a^{r+t}$ où $ t$ et $ r$ sont des rationnels"
Tout repose sur la définition $a^{p/q}=(a^{1/q})^p$ où $p\in \Z$, $q\in \N^*$, et $a^{1/q}$ est l'unique réel positif $b$ tel que $b^q=a$, et biensûr sur les propriétés (supposées acquises) des puissances entières.
En introduisant $r=\frac{p}{q}$ et de même $r'=\frac{p'}{q'}$, on a alors $r=\frac{pq'}{qq'}$ et $r'=\frac{qp'}{qq'}$, puis
$$a^ra^{r'}=a^{pq'/qq'}a^{qp'/qq'}=(a^{1/qq'})^{pq'}\,(a^{1/qq'})^{qp'}=(a^{1/qq'})^{pq'+qp'}=a^{p/q+p'/q'}$$
pour ta deuxième question, je n'en comprends pas la finalité (d'autant qu'il me paraît très imprudent, au CAPES, de se lancer dans l'étude de fonctions qui ne sont pas définies sur un intervalle réel) -
Merci Aleg
En fait, la deuxième question c'est juste parce que j'en avais besoin dans une démonstration mais c'est bon je l'ai trouvée tout à l'heure (cela dépend de la position de a par rapport à 1 et du signe de la puissance)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres