Statut d'une égalité : qu'est ce que c'est?
entendu dans un oral du CAPES et lu dans le rapport du jury : la notion de statut d'une égalité (ou d'une équation). Qu'est ce que cela peut bien être que le statut d'une équation ou d'une égalité?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré
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Réponses
N'est-ce pas tout simplement la différence équation/propriété.
Autrement dit savoir si l'égalité indique un lien entre deux expressions mathématique ou sert à stigmatiser une variable.
Mais plus j'écris, moins ça me semble clair !!!
Cordialement
-- Schnoebelen, Philippe
personne ne sait ce que c'est le statut d'une équation et avance des choses assez floues, n'y aurait-il aucune théorie du statut des égalités écrite et publiée par un logicien ou un mathématicien?
Cela dit, une lecture attentive de Frege…
-- Schnoebelen, Philippe
Tu dis "lu dans le rapport du jury"; Peux - tu citer le passage, que l'on puisse essayer de circonscrire le sujet ?
Cordialement
Dans une équation, l'égalité est vraie pour seulement quelques valeurs de l'inconnue qui sont les solutions de l'équation.
Dans une identité, l'égalité est toujours vraie quelque soit la valeur de(s) la variable(s).
Il me semble que ça fait une différence de statut.
Et enfin, au primaire et au début du collège, on voit sur le signe égale comme résultat d'un calcul: $7\times 8-17=39$.
Voila, j'espère que cela t'aidera,
Nicolas
cette phrase page 39/43 : (...)Difficultés d'ordre mathématiques : les confusions et les lacunes remontent souvent à la logique élémentaire (statut d'une égalité, équivalence de systèmes, nature de l'ensemble auquel on s'intéresse) Les candidats peinaient à trouver un statut pour la deuxième équation redondante (....)
épreuve sur dossier n°8 du 6 Juillet 2006.
> Il me semble que Nicolas Patrois, t'a donné un
> début de réponse.
> Dans une équation, l'égalité est vraie pour
> seulement quelques valeurs de l'inconnue qui sont
> les solutions de l'équation.
> Dans une identité, l'égalité est toujours vraie
> quelque soit la valeur de(s) la variable(s).
> Il me semble que ça fait une différence de
> statut.
> Et enfin, au primaire et au début du collège, on
> voit sur le signe égale comme résultat d'un
> calcul: $7\times 8-17=39$.
>
> Voila, j'espère que cela t'aidera,
>
> Nicolas
Si c'est bien cela la définition du statut alors la difficulté dont parle le rapport est une difficulté de jargon et non de mathématiques. Les chercheurs et les enseignant-chercheurs qui font des maths n'emploient jamais le terme de statut
d'une égalité à ma connaissance, cela ne les empêchent pas d'être des bons mathématiciens.
-- Schnoebelen, Philippe
\begin{quote}
Les chercheurs et les enseignant-chercheurs qui font des maths n'emploient jamais le terme de statut d'une égalité à ma connaissance, cela ne les empêchent pas d'être des bons mathématiciens.
\end{quote}
tu es hors sujet dans la mesure où
\begin{itemize}
\item le capes n'est pas un concours de recrutement de mathématiciens chercheurs
\item les chercheurs ont bien d'autres préoccupations que celle-là
\end{itemize}
Bruno
> Ainsi contextualisé, il doit s'agir de
> l'incapacité apparente de certains des candidats
> (une grosse centaine de candidats a planché sur ce
> sujet) à définir correctement la différence entre
> une équation et une formule $t(a_1,...,a_n) = 0$.
Que des élèves de collèges ne puissent pas faire la différence c'est concevable mais des candidats à Bac + x en maths c'est plus que surprenant!
Bruno
" Une {\bf égalité} est une affirmation qui utilise le signe "=" et qui ne peut être que vraie ou fausse. "
" Si, dans une égalité, on introduit une variable [...] ce n'est plus une égalité, parce qu'on ne peut plus dire qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse; elle est 'déstabilisée', car sa valeur de vérité dépend de la valeur qui sera attribuée à la variable.
Aussitôt que la valeur de la vérité d'une écriture comportant le signe "égal" dépend de la valeur de la variable, c'est une {\bf équation}. "
" La relation d'{\bf identité} entre une ou plusieurs variables est une relation d'égalité toujours vraie, quelles que soient les valeurs prises par les variables. "
J'en profite pour vous demander ce que vous pensez du raisonnement suivant :
Question : montrer que l'égalité $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ est vraie.
L'égalité $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ s'écrit
$\displaystyle \frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}} {(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}} {3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{2}= \sqrt{3}+\sqrt{2}$ qui est vraie
L'égalité de départ est donc vraie.
[Un \verb*=\frac= au lieu d'un \verb*=\sqrt=, AD]
Je trouve souvent ce type de présentation, formellement juste, mais qui correspond en fait à une erreur de logique implicite (La conclusion est vraie, c'est que l'hypothèse est vraie).
Je suis un peu contradictoire face à cette situation :
* D'une part, j'explique à mes élèves que dans un traitement d'équation (une seule à la fois) l'absence de symbole logique entre deux lignes signifie une équivalence (Par contre, si on change d'équation, s'il n'y a plus d'équivalence, on le signale pour aider la compréhension);
* D'autre part, j'interdis la démonstration d'égalités présentée par équivalences (sous- entendues, comme ici) de l'égalité vers une évidence.
En trente ans, aucun élève ne m'a signalé la contradiction. Ils sont sympas, les élèves.
Avec la convention "de symbole logique entre deux lignes signifie une équivalence", ce que tu présente montre que l'égalité du départ est une tautologie (De nombreux philosophes pensent que les maths ne sont qu'une immense tautologie. Bizarrement, ce n'est pas le ressenti des matheux).
Cordialement