Sujets de l'X

john_john0 · May 2007

Bonjour à tous,
je m'excuse de vous demander pardon, mais j'aimerais jeter un coup d'\oe il aux sujets de polytechnique (option MP) de cette année {\bf maths et si possible info}.
Qui sait quoi à ce sujet ? Merci d'avance,
j__j

[j_j, évite le langage SMS, AD]

Kazeriahm0 · May 2007

Salut, j'ai passé le concours mais je n'ai pas de scanner.

Le sujet d'analyse visait, à partir d'une fonction f d'une variable réelle de classe Ck, k>=2, à construire une série de fonctions de classe Cinfini qui converge uniformèment vers f, telle que la convergence se fasse en O(1/t^k)

L'algèbre c'était la "résolution" d'une équation fonctionelle sur les endomorphismes d'un ev de dimension finie, très calculatoire.

D'ailleurs j'ai une question que j'aimerai poser à propos de ce sujet, je sais pas si ca vaut la peine de recréer un sujet : voici la question telle qu'elle est posée

si A1,...,Ap sont des endomorphismes, tels que les seuls espaces stables par tous les Ai soient E tout entier et {0}, alors tout endomorphisme B commutant à tous les Ai est de la forme a*Id ou a est un scalaire, cette question c'est bon.

Parcontre ils demandent si la réciproque est vraie ?!

J'ai vaguement vasouillé entre la recherche d'un contre exemple et une preuve, mais rien n'a abouti... Auriez-vous une piste ou quelqu'un subodore-t-il la réponse ?

PB · May 2007

Bonsoir,
J'ai déjà du mal avec le sens direct : si je prend par exemple $p=1$ (j'ai le droit ?) et si je prends pour $A_1$ une rotation non trop triviale du plan (réel), alors les seuls espaces stables par tous les $A_i$ sont le plan entier et $\{0\}$, c'est évident. Pourtant il y a des endomorphismes qui commutent avec $A_1$ et qui ne sont pas des homothéties : $A_1$ par exemple.
Il doit manquer une hypothèse...

Brother0 · May 2007

Oui, ce qu' a oublié d' indiqué Kazeriahm c'est que l' ev considéré est complexe

Hoang · May 2007

quel est la commutant des matrices triangulaires supérieures ..

Kazeriahm0 · May 2007

bah a vrai dire c'était pas précisé dans l'énoncé que l'ev était complexe (on nous parlait pas du corps) mais c'est vrai qu'on a besoin de considèrer que le spectre de B est non vide...

skilveg · May 2007

Si si, l'espace était spécifié complexe

Kazeriahm0 · May 2007

oulah décidement oui desolé, je l'avais pas vu... j'ai du passer pour un abruti quand j'ai marqué sur ma copie que je m'autorisais à prendre une valeur propre de B......................

skilveg · May 2007

La réciproque est fausse: si $X=\mathbb{C}^2$ et si $A_1$ et $A_2$ sont respectivement représentés dans la base canonique par $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, soit $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ représentant un endomorphisme commutant avec $A_1$ et $A_2$. On trouve que $A$ doit être proportionnelle à $I_2$, mais $\mathbb{C}\binom{1}{0}$ est stable par $A_1$ et $A_2$.

Amicalement