oral 1: 76 primitives d'une fonction continue...

brice · May 2007

Bonjour à tous et à toutes , je suis en train de préparer la leçon 76 dont l'intitulé exact est :
"primitives d'une fonction continue sur un intervalle; définition et propriétés de l'intégrale, inégalité de la moyenne. Applications."

Voici le plan que j'envisageais au premier abord :

I) Primitives d'une fonction
II) Intégrale d'une fonction continue sur I
III) Applications

Alors dans ce cas, un problème se pose : on ne peut pas faire la preuve du théorème : toute fonction continue sur I admet une primitive sur I. puisqu'on utilise la notion d'intégrale définie dans la partie II).

Ne vaut-il donc pas mieux commencer cette leçon par donner définition et propriétés de l'intégrale, puis dans une deuxième partie d'introduire la notion de primitives comme cela est fait en classe de terminale, il me semble ?

D'avance merci.

blue_matematics · May 2007

Justement, on peut démontrer que toute fonction continue admet une primitive sans parler d'intégrale, mais c'est bien plus dur.

Une possibilité (ce que je ferais si je tombais dessus) est d'admettre que toute fonction continue admet une primitive, puis de définir l'intégrale par $\int_a^b f(x)dx = F(b)- F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.

brice · May 2007

et bien c'est ce que j'ai fait... après pour ce qui de démontrer ce resultat sans les integrales, je vois comment on fait... 3 etapes je crois:

etape 1: on a le resultat pour les application continues affines par morceaux et le calcul d'aire de trapezes et en plus cela fait le lien ente calcul d'integrale et aire sous la courbe ce qui est pas mal

etape2: pour des fonctions quelconques on fait une approximation par des fonctions affines par morceaux: on peut approcher uniformément toute fonction continue sur [a,b] par des fonctions affines par morceaux ($f_n$)

etape 3: soit $f_n=F'_n$ tend vers $f$ uniformement, $f_n$ affine par morceaux continues
soit $F_n$ la primitive de $f_n$ qui s'annule en $a$: alors $F_n(a)$ tend vers $0$ donc $F_n$ admet une limite $F$ et $F'=F$

est ce quelque chose comme ca ?

Bruno · May 2007

Bonjour brice.

Ce sujet a déjà été commenté récemment sur le forum. Va faire un tour à :

Primitives

Bruno

meskiangasher · May 2007

Soit f une fonction continue sur un segment [a,b].
D'après le théorème de Stone-Weierstrass, il existe une suite de
polynômes P_n qui converge uniformément vers f.
Soit Q_n la suite des polynômes primitives des P_n et qui s'annulent
en a.
Comme l'espace d'arrivée est complet et que Q_n(a) converge, Q_n
converge uniformément vers une fonction dérivable g telle que g'=f.

Puis on définit notre intégration de fonctions continues sur [a,b] avec çà.

Mais après, pour relier cette définition de l'intégrale aux propriétés portant sur l'aire, c'est une autre paire de manches...

EverNever · May 2007

Bonjour, j'ai passé l'agreg mais j'ai merd*** donc je me lance dans les oraux du capes... Par exemple sur la leçon théorème de Rolle c'est long ou pas ? (pour ceux qui l'ont préparé pendant l'année. Je pensais à :

1) Théorème de Rolle a) thm de Rolle b) th de Rolle étendu

2) Conséquences du thm a) formule des AF b) principe de Lagrange 3) Prolongement en t dune fonction dérivable autres applications : Taylor Lagrange ou règle de l'Hospital

Qu'en pensez-vous ? C'est trop court ? ça va ?
Merci

Bidou · May 2007

ca va

EverNever · May 2007

merci , mais bon de toute facon je suis pas encore admissible (:P).....Que c'est long l'attente grrrr.

Utilisateur anonyme · May 2007

> etape 3: soit $f_n=F'_n$ tend vers $f$

Comment sais-tu que F_n existe ? Pour des applications affines je veux bien, mais affines par morceaux, on va un peu vite en besogne ...

[La case, la case...

. Bruno]

oral 1: 76 primitives d'une fonction continue...

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