fonctions monotones dans R^n
dans Concours et Examens
Bonjour
Je me trouve face à un dilemme concernant la leçon d'agreg 228 "{\bf fonctions monotones fonctions convexes applications}"
En première approche on parle de fonctions monotones de R dans R.
Et j'ai donc estimé que l'on pouvait bâtir toute cette leçon pour des fonctions réelles de la variable réelle.
Mais voilà on peut définir la monotonie de $\R^n$ dans $\R^n$ par $< f(x)-f(y),(x-y)>\ \geq 0$ avec $< , >$ produit scalaire euclidien
J'ai vu sur le net des plans traitant cette leçon avec une seule variable et d'autres avec plusieurs.
Moi j'hésite beaucoup parce que rien qu'avec une seule variable la monotonie il y a de quoi raconter (et la convexité aussi) et il y a une autre leçon qui mentionne explicitement "fonctions convexes d'une ou plusieurs variables"
Pour ma part à l'oral je suis tombé en modélisation sur la méthode de Newton que j'ai exposée avec une seule variable et en analyse encore la même chose (si si c'est vrai!). Par deux fois il m'a été reproché ( et la note s'en est très sévèrement ressentie) de m'être placé dans ce cadre restrictif.
J'ai un dilemme.
Ce serait intéressant de procéder à un vote. Deux candidats en liste (c'est la période je crois...):
Qui vote pour une seule variable pour le traitement de la leçon 228?
[La case LaTeX. AD]
Je me trouve face à un dilemme concernant la leçon d'agreg 228 "{\bf fonctions monotones fonctions convexes applications}"
En première approche on parle de fonctions monotones de R dans R.
Et j'ai donc estimé que l'on pouvait bâtir toute cette leçon pour des fonctions réelles de la variable réelle.
Mais voilà on peut définir la monotonie de $\R^n$ dans $\R^n$ par $< f(x)-f(y),(x-y)>\ \geq 0$ avec $< , >$ produit scalaire euclidien
J'ai vu sur le net des plans traitant cette leçon avec une seule variable et d'autres avec plusieurs.
Moi j'hésite beaucoup parce que rien qu'avec une seule variable la monotonie il y a de quoi raconter (et la convexité aussi) et il y a une autre leçon qui mentionne explicitement "fonctions convexes d'une ou plusieurs variables"
Pour ma part à l'oral je suis tombé en modélisation sur la méthode de Newton que j'ai exposée avec une seule variable et en analyse encore la même chose (si si c'est vrai!). Par deux fois il m'a été reproché ( et la note s'en est très sévèrement ressentie) de m'être placé dans ce cadre restrictif.
J'ai un dilemme.
Ce serait intéressant de procéder à un vote. Deux candidats en liste (c'est la période je crois...):
Qui vote pour une seule variable pour le traitement de la leçon 228?
[La case LaTeX. AD]
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Réponses
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,187329,187764#msg-187764}
Ensuite, tu consultes un bouquin sur les inégalités matricielles, par exemple Zhan, Matrix inequalities, Springer notes 1790, springer, 2002, et ça te donnera en plus tout plein de chouettes développements pour des leçons d'algèbre linéaire.
En première approche on parle de fonctions monotones de R dans R.
>>
Bof. A priori pour parler de fonctions monotones il te faut simplement des ensembles ordonnés. Je pense que tu ne peux pas omettre la définition général (ne serait-ce que parce que trop de gens pensent qu'une fonction croissante est une fonction dont la dérivée est positive). Tu peux donner quelques exemples (en vrac et sans réfléchir : suites monotones, monotonie de l'intégrale, ordres partiels sur $\{0,1\}^{\Z^d}$ et allusion aux inégalités BK et FKG (remplacé par tout autre exemple davantage dans ton domaine de prédilection...)).
{\bf Ensuite} et assez rapidement, vu que la leçon parle de fonctions monotones et convexes, tu te limites à ce que tu veux pour qu'il y ait un lien. (Et éventuellement tu prends d'autres définitions pour la monotonie.)
Cela dit l'agreg est déjà un peu loin pour moi... J'ai dû oublier les coutumes...
Quand on veut rentrer dans les détails, on est amené à parler de croissance et de décroissance?
Or la définition que j'ai donnée de la monotonie dans $\Rn$ donne dans $\R$ la définition de la croissance.
x-y et f(x)-f(y) de même signe signfie que f est croissante non?