isométries: transformation ou application??

maud
maud
dans Concours et Examens
Bonjour

Je suis dans un grand dilemne ; une isométrie est une application ou une transformation? etant donné qu'une transformation est une application bijective.
ca impliquerait directement qu'une isométrie du plan est bijective.

je suis ouverte aux propositions
merci de m'éclairer!

Réponses

  • josé
    josé
    Bonjour,
    c'est bien une transformation.
  • sniko
    sniko
    Une isométrie est, certes, une application du plan dans le plan, mais c'en est aussi une transformation. Pour l'injectivité, si deux points distincts M et N avaient la même image i.e. M'=N', alors on aurait MN=M'N'=0 : absurde.
  • maud
    maud
    oui mais pour la surjectivité? on utilise le fait qu'on est en dimension finie?

    pour moi, une définition ne se montre pas donc ca voudrait dire que une isométrie est une application qui a la propriété d'être bijective?
  • Yop0
    Yop0
    ... et une application.

    Il serait naif de croire que le vocabulaire est si bien fixé que cela... A part peut-être dans les directives de l'éducation nationale.
  • josé
    josé
    yop Écrivait:
    > Il serait naif de croire que le vocabulaire est si
    > bien fixé que cela... A part peut-être dans les
    > directives de l'éducation nationale.

    Mort de rire (:D
  • maud
    maud
    désolé de vouloir bien maitriser mon vocabulaire, et de demander confirmation!!!
    il faut oser poser des questions ; car pour moi une question n'est jamais idiote!!

    j'ai senti une attaque peut etre qu'il n'y avait pas lieu...
  • sniko
    sniko
    Si tu parles de la définition d'une isométrie (dans le plan affine euclidien), voici ce qu'on peut proposer : une isométrie est une application du plan dans le plan qui conserve les distances.
    Ensuite, on peut prouver qu'une isométrie est une transformation du plan. Pour cela, l'injectivité est claire ; quant à la surjectivité : soient M' un point (que l'on veut atteindre...) et A et B deux autres points d'images respectives A' et B'. On considère alors les triangles ABM1 et ABM2 distincts, isométriques tous deux à A'B'M'. La formule d'AlKashi implique alors que l'un des points M1 ou M2 a pour image M' (on voit alors apparaître les 2 familles d'isométries : les "positives" (appelées déplacement) et les "négatives" (applelée anti...)).
  • maud
    maud
    merci beaucoup sniko!!!
  • sniko
    sniko
    avec plaisir!
  • Archimède
    Archimède
    Une isométrie est une application d'un espace métrique dans un autre qui conserve la distance. Toute isométrie est injective.

    Soient $X$ et $Y$ des espaces affines euclidiens.
    Alors toute isométrie de $X$ dans $Y$ est une application affine injective.
    Par suite si $X$ et $Y$ ont la même dimension, c'est une bijection.
    En particulier si $X=Y$, c'est une transformation.
  • chris26
    chris26
    Bonjour.
    Dans les programmes actuels de lycée (spémath en TS), on définit unez isométrie comme une transformation du plan qui conserve les distances. Ceci dans un souci d'économie de démonstration et de recherche d'efficacité (la surjectivité ferait perdre une heure ou deux). On fait de même pour les similitudes. Ce que dit Yop sur le côté fixé du vocabulaire est tout à fait vrai.
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