Oral Capes: la suite a^n, a€C
dans Concours et Examens
Titre initial : Oral CAPES: étude de la suite a^n, avec a complexe
Bonjour à tous,
Je travaille sur la leçon d'oral du CAPES intitulée:
"Etude des suites de terme général an, nb et n! (avec a complexe, b réel, et n entier naturel non nul)," etc.
La nouveauté par rapport aux années précédentes est l'apparition de la mention a complexe.
Ainsi, je me demandais comment modifier l'exposé que j'ai fait l'an passé (présumant a réel) pour le faire coller au mieux au "nouveau titre".
Je ne sais pas trop en fait comment parler de croissance, convergence, etc. avec une suite de nombre complexes...
Pouvez-vous m'aider ?
Cordialement,
Bidou
Bonjour à tous,
Je travaille sur la leçon d'oral du CAPES intitulée:
"Etude des suites de terme général an, nb et n! (avec a complexe, b réel, et n entier naturel non nul)," etc.
La nouveauté par rapport aux années précédentes est l'apparition de la mention a complexe.
Ainsi, je me demandais comment modifier l'exposé que j'ai fait l'an passé (présumant a réel) pour le faire coller au mieux au "nouveau titre".
Je ne sais pas trop en fait comment parler de croissance, convergence, etc. avec une suite de nombre complexes...
Pouvez-vous m'aider ?
Cordialement,
Bidou
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Réponses
Avec les complexes, la notion de monotonie disparait.
Pour la convergence :
La suite $(u_n)$ (à valeurs complexes) converge vers $l$ si :
$$\forall \varepsilon \in ]0;+\infty[, \exists N\in\N, \forall n\geq N, |u_n-l|\leq\varepsilon$$
La définition reste identique au cas réel, mais la valeur absolue est remplacée par le module, et donc un voisinage de $l$, un intervalle $[l-\varepsilon;l+\varepsilon]$ sur la droite réelle, se transforme en une boule $B(l,\varepsilon)=\{z\in\C||z-l|\leq\varepsilon\}$ dans le plan complexe.
On démontre que la suite $(a^n)$ ($a$ complexe) converge si et seulement si $|a|<1$ ou $a=1$.
Sinon par intuition je dirais qu'il n'existe pas de complexe $a$ de module 1 tel que la suite $(a^n)$ soit dense dans le cercle unité.
Pour la démonstration de ce résultat, partir du résultat $\Z+ \theta \Z$ est dense dans $\R$ si et seulement si $\theta$ est irrationnel est-ce une bonne idée ?
Si tu ne l'as pas ce capes ce ne sera vraiment pas par manque de travail.
C'est impressionnant
Bon courage
Comme ça Egoroff n'aura pas à redire les mêmes choses...;)
Cela dit, dans ce cas particulier il y a quand même plus simple que ce qui est écrit dans le fil en question (je laisse blue_mathematics chercher un peu).
Justement j'ai un problème, je pense etre assez proche du résultat mais je bloque :
On suppose que $\frac{\theta}{\pi}$ est irrationnel. Alors $\Z+\frac{\theta}{2 \pi} \Z$ est dense dans $\R$. Il en est de meme de $2 \pi \Z + \theta \Z$.
Soit $f:t \rightarrow e^{it}$. Cette application est continue, donc $f(\overline{B}) \subset \overline{f(B)}$. Ainsi, $f(B)$ est dense dans le cercle unité.
Or $f(B)=\{e^{i(a 2\pi+b \theta)} \ , \ (a,b) \in \Z^2 \} = \{e^{ib \theta} \ , \ b \in \Z \}$ car $f$ est $2\pi$ périodique.
En fait là j'ai démontré que la suite $(a^n)_{n \in \Z}$ est dense, mais pas la suite $(a^n)_{n \in \N}$
En fait l'idéal serait de démontrer qu'il existe un intervalle compact $I$ de longueur $2 \pi$ tel que $B=I \cap (2 \pi \Z + \theta \N)$ soit dense dans $I$.
dans le titre il est indiqué exemple de comparaison d'une suite avec les suites défines çi dessus. j'aimerai comprendre ce que ça veut dire exactement? sachant que juste avant on parle de croissances comparées, ce n'est pas, justement,des comparaisons? c'est un peu confus comme leçon!
pourriez vous m'éclairer?
merci