exercice de densité
dans Concours et Examens
Bonjour
comment démontrer que l'ensemble des $\frac{k}{2^n}$ k et n entiers est dense dans $\R$
Faut il passer par les développement diadiques?
comment démontrer que l'ensemble des $\frac{k}{2^n}$ k et n entiers est dense dans $\R$
Faut il passer par les développement diadiques?
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Réponses
On divise par $2^n$, on obtient $x < \frac{k}{2^n}$ et $\frac{k}{2^n} \leq x + \frac{1}{2^n}$, puis avec $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{n}$, on obtient:
$x < \frac{k}{2^n} \leq x + \frac{1}{n} < x + z = y$
edit: coquilles..
et oui R est archimédien. Ca montre à partir de la construction de R?
$\R$ est archimédien siginifie que pour tout couple $(x,y)$ réels positifs,il existe un entier $n$ tel que $nx>y$.
Je te propose une petite démo par l'absurde.
Supposons que pour tout $n$ entier $nx<y$ alors l'ensemble $E$ des multiples de $x$ est non vide,majoré par $y$ et donc admet une borne supérieure qu'on note $s$.Alors,on a que $s-x<s$ et donc il existe un élement de $E$ ,$n_0 x$ tel que $s-x<n_0 x$ doù $s<(n_0+1)x$ ce qui est absurde par définition de la borne supérieure des multiples de $x$.
Axiome ou propriété de la borne sup, that is the question ?
Dans les constructions de R que je connais, c'est une propriété.
Quelle construction de R admet la borne sup comme axiome ?
Alban, ignorant sur ce point.
Donc pour une démo sans borne sup de l'archimédéanitute : soient $x,y > 0$, on note $n=E(y/x)+1$ (la partie entière est définie sans borne sup, à base de propriétés de $\N$) alors $nx>y$.
Deux remarques sur ton dernier message:
- Dans un groupe Archimédien $(G,+,\leq )$ (Archimédien avec un grand "A" signifiant groupe abélien, totalement ordonné, non discret, archimédien et non nul !), les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(1) $G$ vérifie la propriété de la borne sup (ie toute partie non vide et majorée etc..).
(2) Toute suite croissante majorée dans G est convergente.
(3) $G$ est complet (ie tout suite de Cauchy converge).
$\R $ est un groupe Archimédien vérifiant (3) (c'est le complété de Cauchy du groupe Archimédien $(\Q,+,\leq)$), ça répond à ta première question.
- ce qui me gêne profondément dans ta démo de la propriété d'Archimède, c'est que l'existence et l'unicité de la partie entière repose sur le caractère archimédien de $\R $...
En fait, ce caractère archimédien de $\R $ se justifie par le fait que le complété de Cauchy d'un groupe Archimédien est lui-même Archimédien.
(bibliographie : Arnaudiès-Fraysse, cours de mathématiques, volume 2 : analyse, chapitre 1).
Oui bien vu, l'existence de ma partie entière repose sur le caractère archimédien de $\R$.. suis-je bête !
Merci pour ces précisions fort éclairantes sur les groupes Archimédiens, les équivalences sont assez naturelles mais bon je vais essayer de les démontrer proprement (et sans cercle vicieux cette fois !). Y a-t-il des groupes Archimédiens plus "gros" que $\R$ ?
Pour ma part j'ai appris tout ça dans le Ramis/Deschamps/Odoux d'analyse et je dois avouer que je ne me souviens plus de leur démo de "$\R$ est archimédien". J'irai regarder quand j'en aurai la possibilité.
Je reste un peu frustré ; tu ne penses pas qu'on peut trouver une démo très simple, dans le style de celle proposée par Mk1844, sans propriété de la borne sup ? (évidemment ça dépend de ce qu'on sait déjà...)
si $A>0$ et $B$ sont deux réels, on peut trouver des rationnels $a\in ]0;A[$ et $b\in]B;B+1[$ et donc utiliser le caractère archimédien de $\Q$ : il existe un entier $n$ tel que $na\geq b$ d'où $nA\geq na\geq b>B$.
(c'est la démo du RDO).
Effectivement c'est une bonne réponse.
autre ex interessant:
le groupe des unites de l'anneau des décimaux est dense dans R..
(interet théorique évident pour une approche des réels par des décimaux..)
Oump
je reviens brièvement sur uen question d'Egoroff (certes, hors sujet..) : Y a-t-il des groupes Archimédiens plus "gros" que $ \mathbb{R}$ ? Réponse sur ce vieux fil : \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=305054&t=305054}
Aleg : Merci beaucoup d'avoir exhumé ce fil, je vais parcourir ça en détail (si j'ai bien compris la réponse à ma question est non).
Un sous-groupe du groupe multiplicatif de R*+ est monogène ou dense
( cf le log qui ramène aux sous groupes additifs de R )
Dans le cas des décimaux inversibles le groupe des unités est dense car une puissance de 2 et une puissance de 5 ne peuvent pas être égales..
Tu auras ainsi une idée de la réponse à ta question ;;)
Oump.