exercice de densité

On peut procéder un peu comme pour montrer la densité de $\Q$. Soient $x,y \in \R^2$ et $z = y - x$ disons positif. $\R$ est archimédien, donc il existe $n \in \N^{*}$ tel que $nz > 1$. Notons $k = E[2^n x] + 1$ d'où $k \leq 2^n x + 1 < k + 1$.
On divise par $2^n$, on obtient $x < \frac{k}{2^n}$ et $\frac{k}{2^n} \leq x + \frac{1}{2^n}$, puis avec $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{n}$, on obtient:
$x < \frac{k}{2^n} \leq x + \frac{1}{n} < x + z = y$

edit: coquilles..

Bonjour e=mc3,
$\R$ est archimédien siginifie que pour tout couple $(x,y)$ réels positifs,il existe un entier $n$ tel que $nx>y$.
Je te propose une petite démo par l'absurde.
Supposons que pour tout $n$ entier $nx<y$ alors l'ensemble $E$ des multiples de $x$ est non vide,majoré par $y$ et donc admet une borne supérieure qu'on note $s$.Alors,on a que $s-x<s$ et donc il existe un élement de $E$ ,$n_0 x$ tel que $s-x<n_0 x$ doù $s<(n_0+1)x$ ce qui est absurde par définition de la borne supérieure des multiples de $x$.

" sans axiome de la borne sup "
Axiome ou propriété de la borne sup, that is the question ?
Dans les constructions de R que je connais, c'est une propriété.
Quelle construction de R admet la borne sup comme axiome ?

Alban, ignorant sur ce point.

Salut Egoroff,

Deux remarques sur ton dernier message:

- Dans un groupe Archimédien $(G,+,\leq )$ (Archimédien avec un grand "A" signifiant groupe abélien, totalement ordonné, non discret, archimédien et non nul !), les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(1) $G$ vérifie la propriété de la borne sup (ie toute partie non vide et majorée etc..).
(2) Toute suite croissante majorée dans G est convergente.
(3) $G$ est complet (ie tout suite de Cauchy converge).

$\R $ est un groupe Archimédien vérifiant (3) (c'est le complété de Cauchy du groupe Archimédien $(\Q,+,\leq)$), ça répond à ta première question.

- ce qui me gêne profondément dans ta démo de la propriété d'Archimède, c'est que l'existence et l'unicité de la partie entière repose sur le caractère archimédien de $\R $...
En fait, ce caractère archimédien de $\R $ se justifie par le fait que le complété de Cauchy d'un groupe Archimédien est lui-même Archimédien.

(bibliographie : Arnaudiès-Fraysse, cours de mathématiques, volume 2 : analyse, chapitre 1).

On peut obtenir le caractère archimédien de $\R $ à partir, d'une part, de la densité de $\Q $ dans $\R $ et, d'autre part, du caractère archimédien de $\Q$ (qui lui-même doit se prouver assez facilement à partir du caractère archimédien de $\Z $, qui lui-même doit se prouver assez facilement à partir de la division euclidienne.. ouf!) :
si $A>0$ et $B$ sont deux réels, on peut trouver des rationnels $a\in ]0;A[$ et $b\in]B;B+1[$ et donc utiliser le caractère archimédien de $\Q$ : il existe un entier $n$ tel que $na\geq b$ d'où $nA\geq na\geq b>B$.
(c'est la démo du RDO).

Cet ensemble est un sous groupe additif de $\R$ qui n'est pas discret, donc il est dense.

Celui de la question de départ, pardi !

Bonsoir

autre ex interessant:

le groupe des unites de l'anneau des décimaux est dense dans R..

(interet théorique évident pour une approche des réels par des décimaux..)

Oump

Oump : Intéressant ce résultat, et pas forcément intuitif. Est-ce vrai dans toutes les bases ?

Aleg : Merci beaucoup d'avoir exhumé ce fil, je vais parcourir ça en détail (si j'ai bien compris la réponse à ma question est non).