fonctions convexes (oral agreg)
dans Concours et Examens
Bonjour
il ne vous aura pas échappé qu'a l'oral d'analyse de l'agreg externe il y a deux leçons sur la convexité
228 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
251 parties convexes fonctions convexes d'une ou plusieurs variables. Applications
Comment traiter la 228 sans parler de partie convexe (définir une fonctioni convexe sur un ensemble non convexe bof)?
Comment traiter la 251 sans la mnotonie alors qu'il y a plein de propriétés fondamentales liées à la monotonie
bref c'est quoi la différence entre ces deux leçons?
Il y a-t-il piège au hors sujet la dedans?
il ne vous aura pas échappé qu'a l'oral d'analyse de l'agreg externe il y a deux leçons sur la convexité
228 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
251 parties convexes fonctions convexes d'une ou plusieurs variables. Applications
Comment traiter la 228 sans parler de partie convexe (définir une fonctioni convexe sur un ensemble non convexe bof)?
Comment traiter la 251 sans la mnotonie alors qu'il y a plein de propriétés fondamentales liées à la monotonie
bref c'est quoi la différence entre ces deux leçons?
Il y a-t-il piège au hors sujet la dedans?
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Réponses
la 228 une seule variable
la 251 nombre fini de variables
( et pas de leçon sur les espaces de dim infinie)
du coup la leçon 251 semble englober la 228 ce qui n'est pas possible. Il faut donc trouver des choses à dire dans la 228 qui ne rentreraient pas dans le cadre de la 251. Ou alors cela veut dire qu'il faut plus s'appesantir dans la 228 sur certains résultats considérés comme élémentaires et peut ête même omis du plan (du genre une ftc réelle de var réelle dérivable à dérivée positive est croissante )dans la 251
Ca m'intrigue quand même tout ca
ce n'est pas parce qu'il y a dans le titre "partie convexe" que Hahn Banach (par exemple) est forcément à propos. En plus il y a une leçon d'algèbre sur convexité et barycentre. Donc pour moi il ne faut pas s'étendre sur "partie convexe" mais "fonction convexe"
"Les candidats négligent les barycentres et ne traitent que la convexité, la leçon devenant une leçon d'analyse.
Cette leçon doit être vue comme Barycentre et applications et porte essentiellement sur la géométrie. Un barycentre n'est pas forcément à coefficients positifs~!!"
J'ai pas d'application vraiment simple et remarquable en tête, mais par exemple ça montre qu'un ensemble convexe est fermé fort ssi il est fermé faible, et on en déduit qu'à partir d'une suite faiblement convergente, on peut trouver une suite $u_n\in conv(x_1,\cdots,x_n)$ telle que $u_n$ soit fortement convergente.
Sinon ça donne une jolie preuve du fait que $Ker(u)\supset \cap_{i=1}^n Ker(u_i)$ alors $u$ est combinaison linéaire des $u_i$.
Soit $F$ un ss ev de $E$ espace localement convexe.
Si $\forall f \in E', f_{|F}=0 \Rightarrow f=0$ alors $F$ est dense dans $E$.
On se sert de ce résultat pour démontrer que si $E$ est un espace de Banach à dual séparable alors $E$ est séparable.
Moi je me range du côté de Corentin
je suis tombé sur cette leçon d'algèbre à l'oral. J'ai fait 3/4 barycentre 1/4 convexité. J'ai proposé trois développements dont un sur les barycentres et l'autre sur la convexité. Le jury a choisi un developpement dans lequel je présentais (avec démo évidemment) différents modes de calculs des coordonnées barycentriques de points remarquables d'un triangle. Ils ont trouvé cela léger. En fait ils m'ont interrompu au bout de 2 minutes me disant en gros "c'est bon on a compris" et ne m'ont pas laissé finir mon développement. Ils m'ont alors posé des exercices sur la convexité (propriété topoliques et ne je sais plus quoi d'autre) pour finir par des calcules de coordonnées barycentriques dans un polèdre. Bilan 6/20
Je crois que ma leçon était plutôt une bonne leçon de CAPES qu'une leçon d'agreg. Mais voilà depuis je n'ai toujours pas compris ce que j'aurais pu rajouter et ce qui pourrait être mis dans une leçon d'agreg et pas de CAPES.
Mais bon l'objet de ce poste est l'analyse...
Alban : certes, mais si on est sur un evn plutôt que sur un espace localement convexe, Hahn-Banach géométrique suffit (ce qui est le cas de l'exemple que tu donnes ensuite). D'ailleurs, par simple curiosité, as-tu au niveau agreg des exemples intéressants d'espace localement convexes qui interviendraient en analyse (ie non triviaux) ?
Mais la forme est nulle sur $E$ puisqu'elle est soit minorée soit majorée, et elle vérifie donc $f(0,\cdots,0,1)\neq 0$, par suite on trouve $\sum \lambda_i u_i+\lambda u=0$ avec $\lambda \neq 0$, cqfd.
En première approche on parle de fonctions monotones de R dans R.
Mais voilà on peut définir la monotonie de $\R^n$ dans $\R^n$ avec $<f(x-y),(x-y)>\geq 0$ avec <,> produit scalaire eucliden
Du coup ce que j'ai dit plus haut concernant le fait que la leçon 228 "fonctions monotones fonctions convexes" ne devrait s'intéresser qu'aux fonction de R dans R tombe à l'eau, à moins que l'on ne considère que l'autre leçon mentionnant explicitement "plusieurs variables" cela sous entendrait qu'on peut se restreindre à une seule variable dans la leçon 228
Autre remarque : ce n'est pas parce que quelque chose a bien sa place dans une leçon qu'on ne peut pas en parler dans une autre (au contraire). Par contre il faut effectivement trouver des spécificités à chaque leçon.
[La case LaTeX. AD]