sujet d'un concours

L'eq. diff. indiquée par gb est de la forme $F'_x dx + F'_y dy=0$, où $F(x,y)=ax^3+bx^2y-exy^2-fy^3$. La solution $\varphi$ qui <<passe>> par le point $(m,0)$ vérifie donc $F(x,\varphi(x))=F(m,0)=am^3$ pour tout $x$ d'un certain intervalle autour du réel $m$ (c'est un arc de cubique).

Cordialement, j__j

Il me semble que tout a été dit : tu cherches à déterminer une courbe telle que, au point $(x,y)$, la pente de la tangente ait pour valeur
$$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3ax^2 + 2bxy - ey^2}{3fy^2 +2 exy - bx^2}$$
ou encore
$$(3ax^2 + 2bxy - ey^2)dx + (bx^2 - 2exy - 3fy^2)dy = 0$$
Comme
$$\dfrac{\partial(3ax^2 + 2bxy - ey^2)}{\partial y} = 2bx - 2ey = \dfrac{\partial(bx^2 - 2exy - 3fy^2)}{\partial x}$$
tu en déduis que tu es en présence d'une différentielle exacte.
En effet, avec $F(x,y) = ax^3 + bx^2y - exy^2 - fy^3$, tu as bien
$$\dfrac{\partial F}{\partial x} = 3ax^2 + 2bxy - ey^2 \quad \textrm{ et } \quad \dfrac{\partial F}{\partial y} = bx^2 - 2exy - 3fy^2$$
et l'équation est en fait $dF = 0$ dont les solutions sont $F(x,y) = C^{te}$.

Pour que la courbe passe par le point $(m,0)$, tu dois choisir la constante égale à $F(m,0) = am^3$, et la courbe cherchée est d'équation $F(x,y) = am^3$.

Le message de gb a croisé le mien ; lorsque j'écris << mais... >>, cela répond au message de sos et non à celui de gb !