sujet d'un concours
dans Concours et Examens
Salut tout le monde ci-joint un sujet d'un concours mais malhereusement je ne savais pas quoi faire et j'ai eu un 0 pour cet exercice.
La pente d’une courbe en chaque point (x,y) est donnée par le rapport
(3ax^2 +2bxy -ey^2) / (3fy^2 +2exy -bx^2)
a) Déterminez l’équation de la courbe qui passe par le point (m,0)
b) Vérifiez l’exactitude de la solution trouvée en a).
La pente d’une courbe en chaque point (x,y) est donnée par le rapport
(3ax^2 +2bxy -ey^2) / (3fy^2 +2exy -bx^2)
a) Déterminez l’équation de la courbe qui passe par le point (m,0)
b) Vérifiez l’exactitude de la solution trouvée en a).
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Réponses
Il s'agit donc de résoudre l'équation différentielle
$$y' = \dfrac{3ax^2 +2bxy -ey^2}{3fy^2 +2exy -bx^2}$$
avec la condition initiale $y(m) = 0$.
Cordialement, j__j
$$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3ax^2 + 2bxy - ey^2}{3fy^2 +2 exy - bx^2}$$
ou encore
$$(3ax^2 + 2bxy - ey^2)dx + (bx^2 - 2exy - 3fy^2)dy = 0$$
Comme
$$\dfrac{\partial(3ax^2 + 2bxy - ey^2)}{\partial y} = 2bx - 2ey = \dfrac{\partial(bx^2 - 2exy - 3fy^2)}{\partial x}$$
tu en déduis que tu es en présence d'une différentielle exacte.
En effet, avec $F(x,y) = ax^3 + bx^2y - exy^2 - fy^3$, tu as bien
$$\dfrac{\partial F}{\partial x} = 3ax^2 + 2bxy - ey^2 \quad \textrm{ et } \quad \dfrac{\partial F}{\partial y} = bx^2 - 2exy - 3fy^2$$
et l'équation est en fait $dF = 0$ dont les solutions sont $F(x,y) = C^{te}$.
Pour que la courbe passe par le point $(m,0)$, tu dois choisir la constante égale à $F(m,0) = am^3$, et la courbe cherchée est d'équation $F(x,y) = am^3$.
Maintenant, puisque l'on demande de <<vérifier>> le résultat du {\bf a)}, il ne reste plus qu'à vérifier les hypothèses du dit théorème et une des conséquances d'icelui est que $\varphi$ satisfait l'E.D.O. $y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$\,.