intégrale et somme

$$\int_0^{+\infty }\,\frac{t}{e^t-1}dt=\int_0^{+\infty }\,t\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt=\int_0^{+\infty }\,\sum_{n=0}^{+\infty }u_n(t)\,dt$$
avec $u_n(t)=t\,e^{-(n+1)t}$ et l'interversion somme-intégrale ne devrait plus être trop difficile...

nb 1 : $\int_0^{+\infty }\,u_n(t)\,dt=\frac{1}{(n+1)^2}$ par le changement de variable $x=(n+1)t$.

nb 2 : ce résultat se généralise aisément (même méthode) en
$$\int_0^{+\infty }\,\frac{t^x}{e^t-1}dt=\Gamma (x+1)\,\sum_{n=1}^{+\infty }\,\frac{1}{n^{x+1}}$$ pour $x>0$.