Dérivabilité des fonctions monotones
Bonsoir,
J'aimerai savoir si quelqu'un a une bonne référence montrant de façon relativement élémentaire (ie: pas d'intégrale de Stieltjes et de décomposition des mesures) que les fonctions monotones sont presque partout dérivable.
J'ai regardé dans le Doukhan Sifre, mais à mon avis la preuve est fausse. Je pense avoir une correction convenable, mais dans le doute je préférerais une autre référence, pour éventuellement en faire un développement "agrégativement correct".
Merci.
J'aimerai savoir si quelqu'un a une bonne référence montrant de façon relativement élémentaire (ie: pas d'intégrale de Stieltjes et de décomposition des mesures) que les fonctions monotones sont presque partout dérivable.
J'ai regardé dans le Doukhan Sifre, mais à mon avis la preuve est fausse. Je pense avoir une correction convenable, mais dans le doute je préférerais une autre référence, pour éventuellement en faire un développement "agrégativement correct".
Merci.
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Réponses
de mémoire : jette un oeil dans le Riesz et Nagy (dans les premières pages )
(leçons d'analyse fonctionnelle )
Oump.
c'est fait dans le Natanson (vieille mais solide référence que j'ai eu l'occasion d'avoir entre les mains : "theory of functions of a real variable", je crois), et la même démonstration est reprise dans (référence plus récente, 1996) : "advanced analysis on the real line" de R. Kannan et Carole King Krueger, chez Springer, pages 22 à 25 (bouquin que je possède).
Mais il faut quand même recourir à la mesure de Lebesgue et au lemme de recouvrement de Vitali.
nb : si tu as des difficultés pour accéder à ce dernier bouquin, fais-le savoir, ça me donnera une occasion d'apprendre à me servir de ma toute nouvelle imprimante-scanner-photocopieuse-etc...
Pour Aleg, je sais que ça utilise tout de même des choses assez fines, j'ai vu une jolie preuve dans un bouquin d'intégration de wheel et zygmund, mais toute la difficulté y est reportée dans un "super lemme" de Vitali, qui n'est pas du tout dans l'esprit de l'agrég. Oui je suis très terre à terre.
Comme je suis loin de ma bu ce (long) week end, je serai ravi que tu mettes à contribution ta nouvelle imprimante scanner photocopieuse, évidemment si tu en trouves le temps (d'autant plus qu'après consultation du catalogue de cachan, les livres dont tu parles ne sont pas répertoriés, par contre il y a une armada de "leçons d'analyse fonctionnelle").
c'est fait dans "topologie et analyse fonctionnelle" de Gonnord et Tosel.
La preuve est bien faite, utilise une version faible du théorème de Vitali mais donne sa démonstration.
C'est aussi fait dans "Probability end measure" de Bilingsley.
Ciao ciao.
ci-joint copie des pages 22 à 25 de "Advanced Analysis on The Real Line" que j'avais citées. j'espère que c'est lisible.
Il se peut bien que le Gonnord Tosel concerné soit celui de calcul différentiel!
désolé...
Seb
Ce n'est pas tout à fait évident, mais si on veut le prouver correctement, il me semble que c'est pas mal de temps pour pas grand chose, et je n'ai pas envie d'utiliser une mesure extérieure...
Je ne réponds pas à ta question ci-dessus (quoique si f est monotone, ça ne devrait pas être insurmontable), mais je viens de m'apercevoir qu'il y a une preuve, très élégante aussi, de la dérivabilité pp d'une fct monotone dans le fameux "Primer of real functions" de R.P. Boas.
La démonstration repose sur un lemme assez élémentaire que Boas attribue à F. Riesz et qu'il appelle "rising sun lemma" (résultat lui aussi assez "célèbre").
Comme il faut que je rentabilise mon scanner.., je te joins les pages en question.
Ok, je sors :D:D
l'image que j'ai du Boas fait une erreur à l'ouvertur
j'ai téléchargé deux fois et toujours le même problème
Attention, le fichier fait quand même 3,2 Mo.
Essaie non pas de le télécharger, mais simplement de l'ouvrir avec Gs-view ou Adobe puis de l'imprimer (il n'y a que quatre pages).