corrigé agreg interne 07

J'ai rédigé la correction de cette dernière partie, je pourrai te la poster ce soir si tu veux. J'ai bien bataillé aussi sur cette question.

Remarque déjà qu'en faisant la DE de $\alpha$ par $\pi$, tu obtiens $\alpha = p\pi+q$, d'où $\alpha^3 = p^3\pi^3 + 3p^2\pi^2p + 3p\pi q^2 + q^3$, il n'est pas difficile de vérifier que $q^3 = 0$ ou $\pm 1$ (en effet, $N(q) < 3$ donne 6 valeurs non-nulles possibles pour $q$ qui sont les racines $6$-ièmes de l'unité).

Ensuite, $\pi^2$ divisant $3$, tu en déduis déjà que $\alpha^3$ est congru à $\pm 1$ mod $\pi^3$. Pour le mod $\pi^4$, faut batailler davantage.

De mémoire, la constatation que $\pi$ divise $x$ ssi $3$ divise $N(x)$ (dans $\Z$) a été l'argument décisif.

Disons que si ça ne se passe pas dans $\Z[j]$, on voit pas trop où ça peut se passer.

Voilà ce que j'ai tapé, c'est encore en attente de relecture, de compléture et de figures, et c'est très loin d'être garanti sans fautes.