applications opérations de groupes
dans Concours et Examens
Bonjour,
Je suis à la recherche d'applications d'opérations de groupes sur un ensemble, autres qu'à la théorie des groupes elle-même.
Je sais qu'on trouve chez Berger et Arnaudies/ Bertin plein de bonnes choses, mais franchement ces pavés (en plusieurs tomes svp) sont peu exploitables à un oral d'agreg.
(J'avais préparé l'an dernier le pb du pavage du plan. En relisant mes notes je me rends compte que c'est assez difficile à recaser à l'oral)
Existe-t-il des ouvrages (non épuisés) plus modestes et surtout moins volumineux, présentant des applications intéressantes. Je me méfie des ouvrages spécialisés (par exemple en géométrie). Un ouvrage d'algèbre présenants des applications intéressantes ferait l'affaire.
Pour ma part j'aime beaucoup le problème des colliers (et la formule de dénombrement des orbites dont il découle et que l'on trouve curieusement assez rarement dans les ouvrages (c'est d'ailleurs un grand absent du Perrin)). Connaissez vous d'autres exemples d'applications d'opérations de groupes à des problèmes de dénombrement ?
Je suis à la recherche d'applications d'opérations de groupes sur un ensemble, autres qu'à la théorie des groupes elle-même.
Je sais qu'on trouve chez Berger et Arnaudies/ Bertin plein de bonnes choses, mais franchement ces pavés (en plusieurs tomes svp) sont peu exploitables à un oral d'agreg.
(J'avais préparé l'an dernier le pb du pavage du plan. En relisant mes notes je me rends compte que c'est assez difficile à recaser à l'oral)
Existe-t-il des ouvrages (non épuisés) plus modestes et surtout moins volumineux, présentant des applications intéressantes. Je me méfie des ouvrages spécialisés (par exemple en géométrie). Un ouvrage d'algèbre présenants des applications intéressantes ferait l'affaire.
Pour ma part j'aime beaucoup le problème des colliers (et la formule de dénombrement des orbites dont il découle et que l'on trouve curieusement assez rarement dans les ouvrages (c'est d'ailleurs un grand absent du Perrin)). Connaissez vous d'autres exemples d'applications d'opérations de groupes à des problèmes de dénombrement ?
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Réponses
Je me souviens avoir trouvé ça très joli.
Kamel
"un peu trop facile" C'est de l'humour?! Moi le pavage je l'ai travaillé avec le Tauvel ( et un peu le Berger) c'est assez infernal En fait je crois que je renonce à exposer ça le jour d'un oral. Sinon en quoi l'opération des matrices inversibles sur les matrices apporte-t-elle quelque chose de substantiellement intéressant. Quels résultats en découlent. De quel type d'opération s'agit il (translation, conjugaison) Si on parle de la conjugaison on pense aux matrices équivalentes, changements de bases, mais qu'est ce que cela apporte le fait de savoir qu'il y a une opération de groupe derrière et que deux matrices équivalentes sont dans la même orbite?
Alban
Non je n'ai pas pensé à la classifiaction des formes quadratiques. Je crois que la classification des coniques via opérations de groupes se fait dans le Tauvel (que je n'ai pas sous la main) dixit Nourdin. J'ai regardé dans les ouvrages suivants: Deheuvels, Tisseron, Fresnel, Biasi, Aimé et d'autres encore et je n'ai pas vu la moindre trace de l'utilisation d'opérations de groupes pour effectuer la classification des formes quadratiques. J'ai également cherché dans le Perrin, mais si ça y est je ne l'ai pas vu. C'est quoi l'idée de départ?
Classifier les formes bilinéaires symétriques, c'est trouver les orbites pour cette action.
mouais. Est-ce que la recherche de ces orbites fait appel explicitement à un résultat de la théorie des groupes opérant sur un esemble. j'ai l'impression que c'est plus à ranger dans les exemples que dans les applications. En fait on peut toujours (très souvent) parler plus ou moins artificiellement avec un langage de la théorie des groupes opérant sur un ensemble sans pour autant utiliser le moindre résultat de cette théorie. C'est comme les gens qui s'amusent à parler uniquement à coups de catégories et de foncteurs...
Je mets dans le même sac la proposition 2.12.14 de Nourdin (p202) qui dit que le groupe de Galois d'un polynome opère simplement et transitivement sur les racines de celui-ci. C'est que du vocabulaire, mais à ma connaissance rien dans la théorie de Galois ne fait appel à des résultats de la théorie des groupes opérant sur un ensemble (équations aux classes etc). POur moi c'est juste un exemple pas une application
Il en est de même avec le groupe des rotations qui opère sur les demi droites vectorielles pour définir les angles etc...
Il n'aura bien évidemment échappé à personne que dans mon titre j'ai écrit "applications " et non "exemples"
La coloration du cube (ou d'un polyedre plus compliqué...) correspond pile à ce que tu cherches. On compte des orbites en dénombrant des stabilisateurs. C'est fait très proprement dans
ARMSTRONG "Groups and symmetry"
De mémoire, dans le Mneimné-Testard "introduction aux groupes de Lie classiques" ou quelque chose dans ce genre, chez Hermann si ma mémoire est bonne, il y a des trucs sur les actions de groupes dans les deux premiers chapitres (0 et 1)
Impossible d'être plus précis, mais qqun peut peut-être apporter des précisions ?
Amicalement
Volny
"une action d'une groupe sur un ensemble est une application $G\times X \to X$ telle que bla bla bla".
Pitoyable, on voit bien l'influence de la préparation des plans d'agreg, ou on doit balancer des défintions creuses puis des exemples savants, autrement dit illustrer des concepts simples (on n'a pas droit aux compliqués) par des objets compliqués, mais surtout, surtout,ne pas faire l'inverse, ne pas chercher à reformuler des phénomènes simples par une jolie théorie, "ça sert à rien", tu l'as dit toi-même : à quoi bon les catégories ? A quoi bon savoir que les espaces vectoriels forment une catégorie par exemple, que passer au dual est fonctoriel, ça ne sert vraiment à rien n'est-ce pas ? C'est trop risqué, en plus, si un membre du jury qui connait pas trop le lemme de yoneda par lequel commence ton plan se sent vexé, il va te mettre une mauvaise note, trop risqué je te dis.
De toute façon, l'abstraction, ça ne sert vraiment à rien, tes professeurs t'ont répété qu'à la question "pourquoi une fonction continue réelle atteint son sup sur un segment?", il ne faut pas répondre "l'image continue d'un compact est un compact", mais le démontrer à la main, comme un bon soldat, sans chercher à généraliser. D'ailleurs, on peut faire le malin avec les catégories, mais faut savoir démontrer à la main que $[0,1]$ est connexe. Tu sais le faire ? Non ? Alors tu vois, ils te l'avaient dit, t'es pas assez fort pour tenter du hors-programme, essaie de perdre tout recul sur les notions et tu réussiras mieux.
De même, le langage des catégories et des morphismes est bien utiles pour relier et généraliser des notions entre elles [Ca m'a bien servi dans mon mémoire de DEA]
En fait je crois que lorsqu'on prépare l'agreg', on a le nez dans le guidon et on manque parfois de recul.
Mais on ne peut pas blamer e=mc3 pour ça...