Suites: oral 2 du 02/07/2005

Je réponds dans l'ordre inverse des questions :

{\bf 2.} Le test d'arrêt ne peut être que $\vert u_{n+1} - u_n \vert \leq \epsilon$, ce qui détermine un encadrement de $\sqrt{7}$ par $u_{n+1}$ et $u_n$ à $\epsilon$ près. Il ne saurait être question d'utiliser $\sqrt{7}$, dont on cherche à avoir une valeur, pour calculer la dite valeur. Il s'agit ici de "vérifier" que la machine donne une valeur correcte de $\sqrt{7}$.

{\bf 1.} Point n'est besoin des accroissements finis pour un trinôme du second degré ; un calcul direct fournit :
$$f(x) - f(y) = (x-y)\left(1 - \dfrac{x+y}{4}\right)$$
et les encadrements $2 \leq x \leq 3$ et $2 \leq y \leq 3$ amènent à $-\dfrac{1}{2} \leq 1 - \dfrac{x+y}{4} \leq 0$.

Une récurrence fournit alors $\vert u_n - \sqrt{7} \vert \leq \dfrac{1}{2^n} \vert u_0 - \sqrt{7} \vert$, majoration qui permet de montrer, avec les moyens du programme de TS, que $\vert u_n - \sqrt{7} \vert$ converge vers 0, donc $u_n$ vers $\sqrt{7}$.