Sujet de l'agrégation interne
Bonjour,
J'espère que la première épreuve s'est bien passé.
Quelqu'un pourrait m'indiquer où je pourrai le récupérer en ligne?
J'espère que la première épreuve s'est bien passé.
Quelqu'un pourrait m'indiquer où je pourrai le récupérer en ligne?
Réponses
-
Elle est là :
http://www.mathematex.net/phpBB2/download.php?id=383&sid=1f549c4a8c44914027701ad90dc90b45
Bonne soirée
[Vincent : Il faut une autorisation pour accéder à ton lien.
AD] -
Alors le voilà
en fichier joint.
Vincent
-
Merci Vincent.
Je trouve Mathematex un tantinet paranoïaque. -
Bruno Écrivait:
> Merci Vincent.
>
> Je trouve Mathematex un tantinet paranoïaque.
Très moyen comme remarque.
Je ne vais pas me lancer dans une comparaison de forums, car je pense qu'on devrait plutôt s'entraider que de se critiquer.
Si tu veux discuter de notre point de vue, viens plutôt le faire chez nous ou par MP.
Pour info c'est moi qui ait scanné le sujet, et cela ne pose évidemment pas de problème de le partager. Je devrais plutôt m'excuser de la piètre qualité du scan, mais je l'ai fait à la va-vite et pas chez moi. -
Merci ;-)
-
Pour Arnaud K.
C'est le fait d'empêcher le télé chargement que je trouve un peu parano. J'aurais donc du préciser "sur ce coup là". Sinon, je n'ai rien contre "Mathematex" que je consulte régulièrement.
Juste une remarque encore, chaque fois que j'ai tenté de contacter le webmestre en raison de problèmes que je n'arrivais pas à résoudre, je n'ai reçu aucune réponse. Cela peut alimenter des aigreurs.
Ceci dit, je n'y reviendrais pas et merci d'avoir pris la peine de scanner le sujet. -
Bruno Écrivait:
> Pour Arnaud K.
>
> C'est le fait d'empêcher le télé chargement que je
> trouve un peu parano. J'aurais donc du préciser
> "sur ce coup là". Sinon, je n'ai rien contre
> "Mathematex" que je consulte régulièrement.
Que veux-tu dire exactement ? Qu'il est dans un sous-forum privé (pour le lequel l'inscription n'est pas très contraignante) ? Si ce n'est que cela, il est possible de le déplacer.
De plus, on renvoie régulièrement certains ici pour des questions plus techniques qui trouveront davantage d'écho sur les-mathematiques.net
Effectivement, tu viens régulièrement consulter le site et tes posts ont toujours été très instructifs (bien que rares ces derniers temps).
A bientôt sur MathemaTeX. -
Bonjour Guiguiche.
Je sais bien que Mathématex renvoie sur ce forum pour des compléments sur certaines questions.
Il est également vrai qu'en ce moment je me fais plus rare sur ce forum (sur celui-ci également d'ailleurs) ; en fait, très souvent les idées que je pourrais avancer sur les questions qui m'intéressent sont déjà émises ; je ne vois pas l'intérêt d'ajouter des redites.
L'idée de sous-forum privé m'était étrangère et j'ai râlé sous le coup de la rogne ce qui ne m'arrive pas souvent reconnais-le.
Toutes mes excuses si j'ai froissé certains membres de Mathématex. -
Bruno Écrivait:
> Bonjour Guiguiche.
>
> Toutes mes excuses si j'ai froissé certains
> membres de Mathématex.
Mais tu es tout excusé.
Le sous-forum Agrégation-Interne est ouvert à toute personne demandant à y être inscrite sans justification aucune. -
Non personne n'est froissé, surtout que j'ai toujours apprécié tes interventions ( Bruno ), et c'est bien dommage qu'elles soient plus rares. J'étais simplement étonné.
Si tu as des questions, n'hésite pas à me mp.
Le 2e sujet arrive bientôt ( dans le même état ). -
Mes collègues aussi ont envie de le voir, donc j'ai posté les sujets dans la tribune libre de MathemaTeX.
Amusez-vous bien
http://www.mathematex.net/phpBB2/img-vp24879.html#24879 -
Bonjour Bruno.
Bruno Écrivait:
> C'est le fait d'empêcher le télé chargement que je
> trouve un peu parano. J'aurais donc du préciser
> "sur ce coup là". Sinon, je n'ai rien contre
> "Mathematex" que je consulte régulièrement.
C'est juste qu'Arnaud a posté le sujet dans le forum de préparation à l'agrégation interne. Il aurait pu le faire dans une partie publique du forum. Il n'y a pas de parano dans tout ça.
> Juste une remarque encore, chaque fois que j'ai
> tenté de contacter le webmestre en raison de
> problèmes que je n'arrivais pas à résoudre, je
> n'ai reçu aucune réponse. Cela peut alimenter des
> aigreurs.
Ah bon !!?
Tu as essayé de contacter le webmestre comment !?
(je n'ai pas vu tes messages en tout cas)
Cordialement,
MB. -
Bonsoir,
Il semble que le sous-forum agregation interne de MathemaTex soit maintenant fermé ? -
bose Écrivait:
> Bonsoir,
>
> Il semble que le sous-forum agregation interne de
> MathemaTex soit maintenant fermé ?
Il n'est pas "maintenant fermé", c'est un sous-forum privé qui nécessite une demande d'inscription (rubrique 'A propos de MathemaTeX', post-it Agrégation Interne).
Cordialement
[edit : les sujets sont encore disponible en tribune libre http://www.mathematex.net/phpBB2/sujets-agreg-2007-vt2575.html] -
J'aime bien le sujet d'agreg interne de cette année, moi !
Borde. -
@borde : Tu m'étonnes !
Il y a quand même quelques questions qui donnent l'impression de tourner en rond.
Par exemple dans la partie II :
2)b) Démontrer que les éléments inversibles de l'anneau $\Z[i\sqrt{2}]$ sont les éléments $\alpha$ tels que $N(\alpha)=1$
c) Déterminer les éléments inversibles de l'anneau $\Z[i\sqrt{2}]$.
Je ne vois pas l'interêt de faire la réciproque du b) sans répondre à la question c).
a+ -
Effectivement, Sisbai, on a souvent l'impression de refaire ce que l'on a déjà fait, et en plus sur un sujet rebattu.
Pour me faire l'avocat du diable, je pense que l'idée du concepteur est :
2b) Si $\alpha$ est inversible dans $\Z[i\sqrt{2}]$, alors $N(\alpha)N(\alpha^{-1}) = N(\alpha.\alpha^{-1}) = N(1) = 1$ donc $N(\alpha)$ est un entier (par 2a) qui divise 1 et $N(\alpha) = 1$.
Si $N(\alpha) = 1$, alors par définition de $N$, $\alpha\bar{\alpha} = N(\alpha) = 1$, donc $\alpha$ est inversible, d'inverse $\bar{\alpha}$ qui est élément de $\Z[i\sqrt{2}]$.
2c) Les éléments $a + ib\sqrt{2}$ inversibles sont ceux qui satisfont à $a^2 + 2b^2 = 1$, ce qui impose $b^2 = \dfrac{1-a^2}{2} \leq \dfrac{1}{2}$, d'où $b = 0$, puis $a^2 = 1$...
Mais je suis d'accord avec toi, on sodomise les drosophiles, et on pourrait plus rapidement résoudre les deux questions simultanément.
Je dois également avouer que je n'ai pas été plus emballé par la deuxième épreuve. -
Ok !
Merci gb pour cet éclairage (tu)
C'était simple, mais parfois ce n'est pas évident de suivre l'idée de l'auteur !
Le passage de $N(\alpha) = 1$ à $b = 0$ et $a^2 = 1$ est tellement rapide, que je ne voyais pas le détour attendu.
a+ -
Assez d'accord avec gb, le sujet n'est pas très varié, surtout comparé à l'an dernier. Les mêmes raisonnements se répètent tout le temps (je ne sais pas combien de fois j'ai utilisé "si $d\mid a$ et $d\mid b$ alors $d=\pm 1$ donc $a$ et $b$ premiers entre eux" et "si $a$ et $b$ premiers entre eux et $ab = c^n$ alors $a={a'}^n$ et $b={b'}^n$".
Ca commence à devenir plus excitant sur la partie IV et la partie V (mais les deux raisonnements précités reviennent encore) (raah, je bloque sur la question $\alpha^3 = \pm 1 \pmod {\pi^4}$ et ça m'énerve. Je montre juste $\pmod {\pi^3}$).
Une question : est-ce que les $\mathbb{Z}[\sqrt d]$ avec $d$ négatif sont tous euclidiens ? -
Un sujet varié n'est pas toujours un sujet réussi...D'autre part, ce n'est pas si souvent que l'on voit un sujet de concours, quel qu'il soit, entièrement (ou quasi) consacré à la théorie des nombres, quelle qu'elle soit.
Ce sujet, comme tous les autres, n'est certainement pas sans défaut, mais ne boudons pas notre plaisir, surtout qu'à côté de l'étude (classique) de l'anneau $\Z[\sqrt {-1}]$ (et donc du corps quadratique imaginaire $\K = \Q(\sqrt {-1})$), il y a la preuve (kummerienne) du théorème de Fermat dans le cas $n=3$, ce qui n'est pas si trivial, non ?
Enfin, je terminerais en signalant que l'étude de la théorie algébrique des nombres débute (en général) par l'étude des corps quadratiques et cyclotomiques (deux exemples présents ici), et il s'avère que l'étude des autres corps ne peut être menée à bien que si l'on a bien compris comment les premiers fonctionnent...
Borde. -
Un sujet non varié n'est pas un sujet réussi non plus. L'agrégatif qui ne porte pas haut l'arithmétique dans son coeur est lésé, mais bon...
Fermat dans le cas $n=3$, c'est la dernière partie, il faut déjà y arriver. Ce n'est pas trivial, mais pas super original non plus. La partie 4 était pour moi moins rebattue.
Même en arithmétique, il y a des sujets plus excitants. Je pense à l'étude de la fonction $\eta$ de Dedekind dans une épreuve de Math-Géné de l'externe qui doit dater des années 90 par exemple.
Raalalah, Borde, dès qu'on critique l'arithmétique, il voit rouge
Mettons les choses au point : j'adore l'arithmétique (j'ai même fait un DEA "Théorie des Nombres" et suivi le module d'Arithmétique de Fouvry en Maîtrise). Je me suis même amusé à faire cette épreuve (même si je l'ai pas encore finie). Mais je la trouve assez mal calibrée. -
Sinon tu peux me dire pourquoi, dans $Z[j]$, un cube non divisible par $\pi = 1 - j$ est congru à $\pm 1$ modulo $\pi^4$ ?
-
Salut Furet,
Je plaisantais bien sûr...Je n'ai pas le temps de répondre maintenant à ta question sur l'anneau d'Eisenstein, quelqu'un d'autre le fera sans doute...
J'aimais bien les écrits de Fouvry, et, les connaissant, tu dois être un champion en sommes d'exponentielles, non (surtout en ce qui concerne les fonctions monomiales, qui reste pour moi l'un des meilleurs articles écrits par lui en collaboration avec Iwaniek, autre superchampion !) ?...
A +
Borde. -
Bonjour,
$\mathbb{Z}[i\sqrt 5]$ n'esp pas principal, si je me rappelle bien...
Amicalement
Omar -
Pour répondre à ta question plus haut, soit $\theta \in \Z[j]$. La norme de $\pi$ vaut $3$, ce qui signifie que $\Z[j]/(\pi)$ a un ordre de $3$, de sorte que, si $\pi \nmid \theta$, alors : $$\theta \equiv \pm 1 \pmod {\pi}.$$ Notons pour simplifier $a = \theta$ ou $- \theta$ pour que $a \equiv 1 \pmod {\pi}$. On a : $$\pm(\theta^3 \mp 1) = a^3 - 1 = (a-1)(a-j)(a-j^2)$$ et si on pose $a = 1 + k \pi$, il vient : $$\pm(\theta^3 \mp 1) = (k \pi)(k \pi + 1 - j)(1 + k \pi - j^2) = (k \pi)(k \pi + \pi)(k \pi - \pi j^2) = \pi^3 k(k+1)(k-j^2).$$ Puisque $j^2 \equiv 1 \pmod {\pi}$, il vient $k - j^2 \equiv k - 1 \pmod {\pi}$, et, puisque $\pi$ divise l'un des trois nombres $k-1,k,k+1$ (toujours à cause de sa norme), on a $a^3 \equiv 1 \pmod {\pi^4}$.
Borde. -
Omar,
C'est exact : le nombre de classes de $\Q(\sqrt {-5})$ vaut $2$, ce qui implique en particulier que son anneau des entiers, qui est ici $\Z[\sqrt {-5}]$, n'est pas principal.
Borde. -
Pour compléter la réponse d'Omar à la question du Furet :
{\it Une question : est-ce que les $\mathbb{Z}[\sqrt d]$ avec $d$ négatif sont tous euclidiens ?}
Borde et bs ont déjà répondu sur ce fil :
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,327643,327791#msg-327791}
Pour d=3,7,11,19,43,67,163, l'anneau des entiers de $\Q[i \sqrt d]$ est euclidien, et pour d=19,43,67,163, cet anneau est principal non euclidien, pour les autres valeurs de d, il n'est même pas principal. -
Ceux qui ont travaillé l'arithmétique avec le livre d'Hellegouarch ont du être contents !!
Pour le sujet 2, c'est étonnant puisqu'il est demandé de refaire le cours de calcul différentiel dans R en acceptant la dérivée infinie.
Est ce que l'on peut répondre :
c'est le théorème de dérivation de la réciproque plus un cas particulier..
c'est le théorème de Rolle
c'est le théorème des accroissements finis..
ou faut-il refaire le cours ? Je ne suis pas contre mais je suis perplexe (heureusement je ne suis pas concerné).
JLS -
Merci Borde pour ta réponse.
J'avais fini par réussir à faire cette question de façon plus "main dans le cambouis", mais au bout du compte ça revient exactement à ce que tu as écrit, en moins éclairant.
Sinon pour Fouvry et les sommes d'exponentielle, ce n'était qu'un cours d'introduction à la Théorie des Nombres (analytique principalement), je ne me rappelle pas qu'il ait parlé de fonctions monômiales, désolé (tiens j'y jetterai un oeil par curiosté) -
Question d'une naiveté confondante :
Comment définit-on le nombre de classes d'un corps ? -
Je ne pense pas que ce soit particulièrement naif comme question Mais si tu fais une recherche sur "classes" et "Borde", tu devrais trouver un tas de réponses...
-
Sinon, pour parler vite (car on ne peut laisser le Barbu sans réponse), disons que, pour un corps de nombres $\K$, on défini son groupe des classes $\mbox {Cl}(\K)$ comme le groupe quotient des idéaux fractionnaires de $\K$ quotientés par les idéaux principaux. On montre que $\mbox {Cl}(\K)$ est un GAF, et le nombre de classes $h_{\K}$ de $\K$ est alors son ordre. Avec cette définition, on voit que $h_{\K} = 1$ équivaut à $\K$ (ou plutôt $\Z_{\K}$) est principal.
Le calcul de $h_{\K}$ est très délicat dans le cas général...Mais, évidemment, on en a besoin dans un certain nombre de problèmes d'arithmétique, notamment pour la résolution de certaines équations diophantiennes.
Sinon, bravo, Furet, pour ta persévérance !...
Borde. -
Bonjour
quelqu'un peut-il me confirmer la relation du IV (sujet 1) :
Il s'agit bien de $x^3-y^2=2$ ?
merci d'avance. -
Oui, c'est bien $x^3 - y^2 = 2$.
-
merci gb.
-
Merci Le Furet et Borde pour vos réponses. J'avais fait une recherhce infructueuse dans le forum (pas très doué).
Je pose donc deux autres questions naïves : d'une part, qu'est-ce qu'un GAF, et d'autre part, pourquoi est-il clair que le nombre de classes de Z[i sqrt(5)] est 2, comme le laisse entendre un précédent message de Borde ? -
Excuse-moi, Barbu, d'avoir employé des sigles par flemme : un GAF est un groupe abélien fini (tu l'avais peut-être deviné, non ?).
Quant au nombre de classes de $\Q(\sqrt {-5})$, c'est un calcul purement technique. Veux-tu le détail ? Si oui, pas de souci, je (ou un autre) pourrai rédiger.
Sinon, tu peux avoir une confirmation en utilisant PARI/GP (commande : $\mbox {bnfclgp} (x^2+5)$).
Borde. -
Bonsoir,
Je m'apprête à terminer le corrigé de l'épreuve n°2 de l'agrégation interne 2007.
Je ne suis qu'un amateur (ni prof, ni chercheur) et, à ce titre, ce corrigé sera susceptible de comporter des erreurs qui peuvent être nombreuses et/ou grossières.
Est-ce que malgré cela (et s'il n'existe pas déjà un corrigé), cela est susceptible d'intéresser quelqu'un ?
Merci de votre réponse,
Vincent. -
Bonsoir,
--> Enoncé: Question I.4: résoudre $a^4+b^4=c^2$
La méthode proposée par l'énoncé est celle que Legendre a utilisé en 1823 pour résoudre cette équation.
Legendre en déduisait ensuite que $a^4+b^4=c^4$ n'a pas de solution dans lN.
--> Question: A chaque fois que j'ai rencontré cette équation auparavant ( chaque = 2 ou 3 ),la correction proposée utilise toujours la méthode de la descente infinie.
Connaissez-vous une autre méthode de résolution ?
--> Kilébo: je ( également amateur,ni prof, ni chercheur) suis évidemment intéressé par ta correction ; j'essaie de faire ce problème dans sa totalité , mais comme d'habitude , j'ai toujours des trous...
De plus , je me souviens de ton séduisant corrigé du concours de l'X en 2006.
Amicalement.
Merci. -
Kilébo,
je suis moi aussi très intéressé par ton corrigé de la seconde épreuve pour avoir souffert dessus durant 6 h la semaine dernière.
Merci d'avance! -
Bonjour. J'essaie de me dérouiller mais malheureusement l'arithmétique n'a jamais été mon truc!
Je suis bloqué sur la question suivante :
I)2)b) Montrez que 2uv et u²+v² sont premiers entre eux (sachant que u^v=1 et que u et v sont de parités différentes).
Dans mon raisonnement, je commençais par prendre un diviseur de 2uv et u²+v²
pour essayer d'arriver à montrer qu'il divisait u et v mais je n'arrive pas à aboutir. L'égalité de Bezout ne me donne rien non plus.
Merci de votre aide par avance! -
bonjour, je prépare le capes et je suis assez moyenne, dirons-nous. Pensez vous que tenter de faire ce sujet est une bonne idée, ou c'est quand meme un niveau assez élevé, et il vaut mieux avoir de solides bases?
merci pour vos conseils. -
lili47 : Je pense que c'est une bonne idée, au moins pour les trois premières parties (je n'ai pas encore fais le reste).
*.* : As-tu déjà montré que (u²+v²) et (u²-v²) sont 1er entre eux ? si oui tu peux montre que d divise leur pgcd et que donc d=1 ou -1.
Sinon, directement, considère un diviseur commun premier de 2uv et u²+v².
Il y a alors trois alternatives : d divise 2, ou divise u ou d divise v. Chacune conduit à une contradiction.
a+ -
Bonjour,
je suis moi aussi intéressé par un corrigé du deuxième sujet que j'ai cherché pour garder un peu le contact avec les maths.
Merci. -
Au fait y a-t-il une correction de la 3ème partie du sujet 1 ? (sur mégamath seules les deux premières parties sont disponibles).
Il y a une seule question que je n'ai pas faite mais elle me fait tourner en bourrique !
III-1)-c) Démontrer que n est pair et que m est impair.
Si quelqu'un a une piste...
a+ -
Où peut-on trouver les corrigés de Mégamaths ? J'apprécie beaucoup J.E. Rombaldi qui a été mon professeur au CNED, pour l'agrégation externe, et dont les livres sont d'une clarté limpide.
Pour préciser ma question : dans quelle page du site mégamaths on retrouve les corrigés de l'agrég interne de cette année ? -
Merci Sisbai! C'est vrai que le coup de choisir un diviseur commun premier semble faciliter les choses mais j'ai des problèmes pour finir la rédaction (je n'ai pas l'habitude de raisonner de cette manière).
Pouvez-vous m'aider ?
Je veux montrer d'abord que u²+v² et u²-v² sont premiers entre eux :
Déja on peut remarquer que, comme u et v sont de parités différentes, alors
u²+v² et u²-v² sont impairs.
Donc un diviseur commun à ces deux nombres est nécessairement impair.
Soit d un diviseur commun premier de u²+v² et u²-v²
* d|2u² donc d|2(impossible car d est premier et impair) ou d|u
* d|2v² donc avec le même raisonnement d|v
donc d|pgcd(u,v) donc d|1 (impossible car d est premier)
donc u²+v² et u²-v² sont premiers entre eux (ai-je droit de conclure comme ça ?)
Ensuite montrons que 2uv et u²+v² sont premiers entre eux:
Soit d un diviseur premier des 2 nombres.
d est nécessairement impair.
d|2uv donc d|u ou d|v
d|2uv et d|(u²+v²) donc d|(u²+2uv+v²) donc d|(u+v)² donc d|u+v
et de manière similaire d|(u-v)² donc d|u-v d'où d|2u et d|2v
d'où d|u et d|v donc d|pgcd(u,v) donc d|1 (impossible car d est premier)
donc 2uv et u²+v² sont premiers entre eux
(?)
PS : y a-t-il un moyen de raisonner sans un utiliser des diviseurs communs premiers ?
Merci par avance! -
Bonjour Sisbai: pour III.1.c,
$p=2k+1$, $q=2l+1$, alors :
$2m^2=p^2+q^2$ ===> $m^2=2(k^2+k+l^2+l)+1$
$2n^2=p^2-q^2$ ===> $n^2=2(k^2+k-l^2-l)$
Bonne continuation. -
Raahhhhh
MERCI bs !
*.* : Cela me semble correct. Sans utiliser de diviseur premier je pense qu'il faut utiliser cette propriété : $PGCD(a^n,b^n)=(PGCD(a,b))^n$.
a+
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