une idée
Bonjour tous les agrégatifs,
En étudiant deux séries de termes assez semblables cf. ci-desous
$ u_n = \frac {1}{(1+6n)(5+6n)} $
$ v_n = \frac{1}{(1+6n)(7+6n)} $
On voit qu'une converge vers un nombre irationnel et l'autre vers un
rationnel.
On peux se poser à ce sujet plusieurs questions.
Pourquoi ceci se produit?
A-t-on d'autres exemples de ce type?
A-t-on un résultat général qui explique le comportements de ces séries?
etc. etc. ....
En répondant à tous ces questions vous aurez un "joker"
utilisable dans plusieurs leçons d'agrégation sur les séries.
Sincèrement,
Galax
En étudiant deux séries de termes assez semblables cf. ci-desous
$ u_n = \frac {1}{(1+6n)(5+6n)} $
$ v_n = \frac{1}{(1+6n)(7+6n)} $
On voit qu'une converge vers un nombre irationnel et l'autre vers un
rationnel.
On peux se poser à ce sujet plusieurs questions.
Pourquoi ceci se produit?
A-t-on d'autres exemples de ce type?
A-t-on un résultat général qui explique le comportements de ces séries?
etc. etc. ....
En répondant à tous ces questions vous aurez un "joker"
utilisable dans plusieurs leçons d'agrégation sur les séries.
Sincèrement,
Galax
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Réponses
>>>Sylvain,
C'est normal pour les suites de tg $ u_v$ $v_n$ ( et c'est même
une CN pour ce que j'affrme)
mais ici il s'agit de séries de tg $ u_v$ $v_n$.
*********
Que pensez vous de cette initiative? Si cela vous semble positive,
n'hésitez pas de produire d'autres idées de ce type.
Et bien sûr completer chaque idée pour qu'elle soit vraiment
utilisable.....
Sincèrement,
Galax
galax, sais-tu vraiment démontrer que $\frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ (la somme de la première série) est irrationnel ? (Pour info, la 2ème est très facile à calculer et la somme vaut $\frac{1}{6}$).
A part ça, je ne suis plus agrégatif (puisque agrégé) mais je ne crois pas que je me soucierais de questions trop vagues comme celles-ci si j'en étais un (même si elles pourraient être intéressantes).
Bisam, comment connais tu la somme? Maple ou technique rusée?
en espérant ne pas avoir dit trop d'âneries
Je suis d'accord avec la somme de la seconde série mais pour l'autre... je vois pas trop : il faut sûrement se ramener à $pi^2/6$ mais je n'y arrive pas.
Il me semble que si $\pi\sqrt3/24$ est rationnel, alors son carré aussi, et donc $\pi$ est algébrique sur $\Q$, ce qui contredit sa transcendance.
A bientôt
OliD
Tout (ou presque) a été dit à propos ces deux séries.
Pouvez-vous trouver d'autres exemples??
Et connaissez-vous un résultat à propos de rationalité des séries.
Sincèrement,
Galax
\frac{z^{6n+5}}{6n+5}$.
Donc F converge avec rayon de convergence égal à 1 et $\frac{F(1)}{4}$ est la somme de la série n°1.
et dérivons F:
$F'(z) = = \sum_{n=0}^{\infty} z^{6n} - z^{6n+4}$.
$F'(z) = \frac{1-z^4}{1-z^6}$
$F'(z) = \frac{1+z^2}{1+z^2+z^4}$
Il ne reste plus qu'à calculer
$\int_{0}^{1} \frac{1+z^2}{1+z^2+z^4}dz$
et le reste est un calcul de primitives avec Arctangente classique.
Oui pour les séries entières pour que leur somme soit une fonction rationnelle...
Et dérivons $F$ :
$ \displaystyle F'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{6n} - z^{6n+4}$.
$ \displaystyle F'(z) = \frac{1-z^4}{1-z^6}$
$ \displaystyle F'(z) = \frac{1+z^2}{1+z^2+z^4}$
Il ne reste plus qu'à calculer
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1+z^2}{1+z^2+z^4}dz$
Mais on a : (Maple...) $ \displaystyle \frac{\left( 1+x^{2}\right) }{1+x^{2}+x^{4}}= \frac{1}{2\left( 1+x+x^{2}\right) }+\frac{1}{2\left( x^{2}-x+1\right) }$
et le reste est un calcul de primitives avec Arctangente classique.
Pour répondre à Corentin, dans ma famille tout le monde monte à cheval et il y a une forte tradition équestre dans ma ville d'origine (d'ailleurs il y a un bonus pour la deviner sachant qu'elle est mondialement célèbre à plus d'un titre et située au nord de Paris);
Je n'ai donc pas pû résister à cette "saillie" supplémentaire ;
ceci-dit, je m'incline devant quiconque maîtrise le Cantor et la fonction de Cantor (qui me font encore me souvenir de Monsieur Hervé (un professeur de Paris VI vraiment impressionnant ) et de mon UV de topologie en licence).
Quand à la ville, je m'abstiendrai de conjecturer, ayant déja assez ruiné la réputation de mes profs de géographie.
EPILOGUE
D'abord l'idée de ce post m'est venue en consultant (grâce au google) le lien ci-dessous :
<http://www.infiniteseriestheorem.org/>
(attention le théorème 2 sur cette page n'est pas tout à fait au point )
autre lien qui peux sevir :
<http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1912__40_/BSMF_1912__40__52_1/BSMF_1912__40__52_1.pdf>
Sinon dans le livre Y.Amice les nombres p-adiques la proposition 5.2.1 donne une CNS pour qu'une série formelle soit une fraction rationnelle.
Sincèrement,
Galax
Ce soir je scannerai la CNS avec sa démonstration.
Sincèrement,
Galax
${D_n}^k(a)$ est le déterminant de la matrice de taille $n+k+1$:
$[a_{n+i+j}]_{0 \leq i \leq k; 0 \leq j \leq k}$;
à partir de là, la fonction $ \displaymath f :z \longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ est rationnelle ssi:
$\exists k \in \N$ tel que $ {D_n}^k(a) = 0$ pour $n$ assez grand.
Et: non, je ne suis pas originaire de Lille.
>>> Gilles
Tu as raison c'est le même théorème.
Note bien que les deux liens que j'ai donné sont utiles pour faire le tour de problème.
>>>Sylvain
Tu trouvera en PJ le scan promis.
Sinon Leichtnam et Schauer (toutes les 4 volumes) sont aussi à avoir...
Bon fin d'année,
Galax
IDEE n°2
Voici une autre idée à creuser.
On sait bien que 12 premieres termes de la suite vérifiant:
$u_{n+2}= ({-1})^n u_{n+1} + u_n $
se répètent indéfiniment.
Voici quelques questions:
Quels sont de suites ayant des propriétes analogues?
Dans quels leçons ces suites peuvent servir?
Bonne fin d'année.
Galax
Ps Si vous avez des IDEES de ce type n'hésitez pas de les mettre sur ce post.
Pour l'IDEE 2:
Le théorème de Sharkovski pourrait être utile!
Sincèrement,
Galax
IDEE 2:EPILOGUE
Un exercice apparemment simple peut susciter le jury poser des questions parfois hardis.
**********************
IDEE 3
Que penser-vous de ceci?
Soit $s= \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}}{n^2}$
On sait que $1 = \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}}{n(n+1)}$,
on en déduit que
$s= \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}}{n^2}= 1+ \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}}{(n^2)(n+1)}$
Sincèrement,
Galax