Fonction de plusieurs variables

franckduh
franckduh
dans Concours et Examens
Bonjour, je prépare l'agrégation interne de mathématiques et je vais présenter la leçon
\textbf{Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle. Fonctions de classe $C_1$. Fonctions composées.}

j'ai plusieurs questions:
- Le plan (ci-dessous) est sans doute trop long pour pouvoir l'écrire en 1/4 d'heure, que dois je enlever?

- y a t'il des incohérences ou des maladresses ?.
- et que choisir comme développement qui tienne en un quart d'heure (et qui soit réutilisable, je sais je suis exigeant)?
Voici le plan :

I.Dérivées partielles, différentielle
A.Définitions : Dérivées partielles premières, exemples
i.Dérivées partielles premières, fonction DPP
ii.Exemples
B.Applications de classe $C_1$
i.Définition
ii.Proposition : $C_1$ --> continue
C.Matrice Jacobienne
i.Définition
ii.Jacobien
iii.Exemples
II.Différentiabilité
A.Différentielle
i.Proposition - Définition
ii.Théorème (f diff --> f admet une dérivée suivant u)
iii.Corollaire Lien différentielle-DPP
iv.Théorème DPP continues-->différentiable
B.Composition des application C1
i.Théorème de composition (dfodg)=
ii. Exemples
III.Comportement local
A.Inégalité des accroissements finis
i.Théorème
ii.Corollaires
B.Difféomorphisme
i.Définition
ii.Proposition
iii.Théorème d'inversion locale
C.Applications
i.Résolution d'EDP
ii.Extrema
iv.Théorème des fonctions implicites

Merci beaucoup.

Réponses

  • Lucas6
    Lucas6

    Bonjour,

    Je te donne mon opinion, qui n'engage que moi et qui doit être complétée par d'autres, sachant que j'ai passé l'agreg externe et pas interne.

    A mon avis il faut faire des choix dans ta leçon, là tu as fait un plan trop exhaustif. Dans les parties I et II je pense qu'il faut faire court et présenter le maximum d'exemples simples. Surtout que les énoncés sont pénibles à écrire.
    Mets des trucs tous bêtes, écris explicitement une fonction qui admet des dérivées partielles mais qui n'est pas C1.

    Ca me parait bien d'insister sur l'Inégalité des accroissements finis. Là aussi ça a plein d'applications.

    Je pense que tu dois charger ta partie III, notamment les extrema (faire des dessins dans R^2 !) et donner des applications faciles de l'inversion locale. Je suis moins convaincu par la résolution d'EDP, ça me paraît piégeux et ça emmène loin du sujet. Mais peut-être que tu penses à un truc précis et que tu es à l'aise.

    Surtout, insiste sur les exemples, tu en as plein des faciles par exemple avec des applications définies sur $M_n(\mathbb{R}$, ne serait-ce que le déterminant et l'exponentielle. Pour pas cher tu as des applications de tes résultats ($GL_n(\mathbb{R}$ est un ouvert, exp réalise une bijection d'un voisinage de 0 vers un voisinage de Id,...)

    J'espère que j'ai pu t'aider et que ça va encourager tes gens plus compétents à critiquer mes conseils...

    Bon courage,
    Lucas

    PS: tu dois écrire le plan au tableau en 1/4 d'heure? à l'externe tu fais des photocopies que tu donnes au jury.
  • franckduh
    franckduh
    Merci beaucoup, tes remarques sont très judicieuse, et comme je ne suis pas à l'aise avec les edp je vais effectivement les supprimer.

    Effectivement le déroulement de l'oral à l'interne est le suivant :

    - écrire le plan au tableau en 1/4 d'heure (pas de photocopie pour le jury)
    - Développement (1 seule proposition, ouf !!) 1/4 d'heure
    - Question du jury 1/4 d'heure.

    Si ce n'est pas trop abuser, comme développement tu verrais quoi ? (inversion locale c'est long, accroissements finis peut-être, ou un exemple consistant de recherche d'extremum non ?)
    Merci encore.
  • franckduh
    franckduh
    Bon en fait j'ai un peu changé mon plan, je ne parle plus d'edp, mais ça me parait encore long ...
    le voici :
    I.Dérivées partielles, différentielle
        A.Dérivées partielles premières
            i.Définition
            ii.Exemples
        B.Applications de classe C1
            i.Définition
            ii.Exemple
        C.Propriétés
            i.F diff en a ==> continue
            ii.f diff en a ==> f admet des dpp en a et df = ... (exemple réciproque fausse)
            iii.si toutes les dérivées partielles en a existent et sont continues ==> f diff en a et df =
            iv.d(fog)=
        D.Matrice Jacobienne
            i.Définition
            ii.Jacobien
            iii.Exemples
    II.Comportement local
        A.IAF
            i.Théorème :
            ii.Corollaire 1 : klip
            iii.Corollaire 2 : df=0
        B.Difféomorphisme
            i.Définition
            ii.Exemple
        C.Théorème d'inversion local
            i.théorème
            ii.exemple ou application
    III.Problèmes d'extrema
        A.Dérivées d'ordre supérieur
            i.Application Ck
            ii.Dérivées successives
            iii.Théorème de schwarz
        B.Recherche d'extrema
            i.Définition
            ii.Théorèmes
            iii.Exemple

    Où pourrais-je couper ?
    Le théorème de Schwarz est il nécessaire ?
  • Lucas3
    Lucas3
    Bonjour,

    Le théorème de Schwarz ça me paraît important effectivement. Pour le développement je n'ose pas trop faire de suggestion. L'inversion locale c'est hyper dur à gérer au tableau sans s'emmêler dans les notations. Un extremum intéressant ça peut être très payant, avec l'intérêt d'être une application plutôt qu'un truc théorique.
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