$h(x):=x$ n'est pas très heureux. Je pense qu'il faut faire une phrase, par exemple : "soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $h(x)=x$, pour tout réel $x$" (ou un truc ressemblant)
la ligne suivante n'a pas le sens que tu souhaiterais lui donner, à gauche tu as une fonction évaluée en $x$, donc en pratique un nombre réel, à droite quelque chose qui est une vraie fonction. Les objets ne sont pas de même nature et donc ne peuvent être égaux. A moins que ta copie brille par la suite, tu donnes l'impression de confondre fonction et valeur de la fonction en un $x$ arbitraire.
dans la ligne qui suit, tu emploies le symbole $\Rightarrow$ dans le sens de "donc" et non dans le sens qu'il a. Si c'est l'usage dans certains pays ou dans des articles de recherche, ce n'est pas ce qui est attendu à un concours ou à un examen. Mieux vaut utiliser des mots clés, tels : par conséquent, on en déduit, il vient, d'où, ...
Je corrige ces points à mes étudiants de première année et je les sanctionne à partir de la deuxième année, je pense qu'à l'agreg ça ne passe pas du tout, sauf si la copie est de bon niveau par ailleurs.
Si j'ai un peu de temps vendredi, je regarderai la suite, en espérant te faire des remarques de fond (attention, ces remarques sont importantes et comme c'est le début de la copie, je ne pense pas que tu te sois mis le correcteur dans la poche).
Pour être plus concis: Soit $x\in\R$ et $h:x\longmapsto x$.
Une remarque supplémentaire: ça ne mange pas de pain de rajouter un $n\rightarrow+\infty $ sous les flèches pour la convergence. Il le manque d'entrée et ça met pas le jury en confiance.
Après d'un point de vue logique ça ne me gène pas qu'on écrive: $\forall n\in\N^{*},\quad\forall x\in\R\quad h_{n}(x)-h(x)=\dfrac{1}{n}\Longrightarrow ||h_{n}-h||_{\infty}=\dfrac{1}{n}$
ET ce qui je pense n'a pas mis le jury dans de bonnes dispositions: C'est de dire $(h_{n})$ converge uniformément vers $h$ sur $\R$ ( on converge simplement, uniformément, normalement, ect ect, sur un domaine qu'il faut préciser) et il est juste dit converge uniformément. Oui mais sur qui?
Pourtant, selon le fil d'à-côté, c'est bien rédigé. Et il faut voir les commentaires.
Mais je pense que ta copie n'est pas rédigée du tout et qu'il faudrait au moins le faire pour les premières questions, comme dit ci-dessus.
Je ne me hasarderai pas cependant à donner des leçons car j'obtiens le même genre de notes. Cependant, ça le fait facilement avec seulement 4 pages et non 40 (économie d'encre, de tendinite, d'arbres coupés, sauver la planète, tout ça...).
Bah faut dire, soit $x\in \R$ et $h:x\mapsto x$ n'a pas le sens souhaité non plus, le $x$ est une lettre muette dans la deuxième partie et une lettre fixée avant (c'est même déconseillé d'employer des lettres muettes qui ont un sens par ailleurs). A la rigueur si on veut concis et précis, écrire $h: x\in \R \mapsto x$, et je pense que là préciser le $\R$ est dans l'absolu inutile (vu le contexte). La rédaction minimale acceptable est sans doute "soit $h:x\mapsto x$. Pour le reste, je suis d'accord avec les remarques.
Le souci sur le point de vue logique est juste que le raisonnement proposé page 1 ne se contente pas de l'implication, mais bien du fait que le départ et l'implication étant tous deux vrais, il en est de même de l'arrivée. C'est écrit nulle part et un simple mot clé aurait évité cette phrase.
Sinon j'ai repris un bout de page au hasard. Tu appliques en bas de la page 5 le th de convergence dominée mais la manière dont tu l'appliques n'est pas valable. Tu ne dois pas démontrer que les $\psi_n$ sont intégrables, mais que tu peux les majorer (en valeur absolue) par quelque chose d'intégrable. En fait tu as fait la majoration juste au dessus, il te suffisait de justifier que la majorante est intégrable. Là je suis absolument certain que tu as perdu des points.
Je vais préciser ma pensée concernant l'implication (où je pense qu'Amédée pensait à $\N^*$ et non $\N$, quoique dans l'absolu ce n'est pas obligatoire pour la remarque).
Si on remplace les $1/n$ par des $e^{-n}$, l'implication sera tout aussi juste mais on ne pourra rien en déduire puisque le départ est faux. Donc le jury ne peut pas se contenter que le candidat constate que l'implication est juste pour dire que le raisonnement est complet.
@math2: Ça se débat. Mais je trouve que tu joues sacrément sur les mots...enfin les lettres. En tout cas pour moi ça n'a pas le même sens, et en l'occurence je ne sais pas où vit le $z$ dans la fonction $h$ que tu définis.
Alors que poser un $x$ réel et tout de suite poser une fonction de ce $x$ en a peut-être plus, en tout cas pour moi et peut-être pour le commun des mortels. Bref, je ne sanctionne pas les élèves pour ça.
J'ai imprimé ta copie ce qui me permet de mieux la voir.
J'ai survolé les 11 premières pages en découvrant le sujet vraiment en même temps, donc ma lecture est très parcellaire, j'ai donc sans doute laissé passer des choses voire écrit des conneries, mais voici mes remarques :
- page 1 : ligne 2 je t'avais dit n'importe quoi j'avais lu une indicatrice ...
Je maintiens de ne pas utiliser $\Rightarrow$ pour d'où
page 2 ta majoration de $|2x+1/n|$ par $|2x+1|$ est grossièrement fausse (cf $x=-1/2$ ; $a\leq b$ n'implique pas $|a|\leq |b|$) ; en revanche tu peux majorer par $2|x|+1/n$, donc par $2|x|+1$
vers le milieu,il est faux que $|f_n| \leq \|f\|_\infty$ (cf $f_n:x\mapsto 1/n$). Un argument possible était de majorer $|f_n| $ par $\|f_n\|_\infty$ dire que la suite $(\|f_n\|_\infty)_n$ converge vers $\|f\|_\infty$ (car $| \|f_n\|_\infty-\|f\|_\infty|\leq \|f_n-f\|_\infty$) donc est bornée
page 3 dans I1a dernière ligne tu écris une inégalité entre complexes, ça n'a pas de sens. Par ailleurs, tu sembles penser que pour démontrer $|A|\leq B$, il suffit de démontrer que $A \leq B$. Même si $A$ est réel, c'est faux s'il est négatif (même problème que ta majoration de la page 2, je pense). Tu pouvais raisonner directement sur $\int_0^{+\infty} |e^{-as}|ds$ pour obtenir la majoration puis utiliser $|\int_a^b f(t)dt | \leq \int_a^b |f(t)|dt$ si $a<b$).
Pour démontrer que l'expression est bien définie milieu de page 4, tu démontres en pratique la convergence absolue de l'intégrale et on en déduit la CV. C'est en pratique le calcul que tu fais, sauf que tu commences par écrire $(K_\alpha f)(t)$ sans savoir qu'il existe. Il vaut donc de mon point de vue supprimer la première ligne après ce qui est rayé et le signe $\leq$, mais conclure la CV absolue donc la convergence, ainsi que la majoration. Je ne sais pas pourquoi la notation $\|f\|_\infty$ perd une barre.
Dans l'absolu on aurait pu appliquer directement TCD sur $K_\alpha f(t_n)$. Même en suivant ce que tu as fait, moi je poserais $\psi_n(t)=e^{-(a+ib)s} (f(t_n+s)-f(t+s))$. J'explique que la fonction $\psi_n$ a la bonne régularité, puis j'écris que $|\psi_n(t)| \leq g(t)$ avec $g(t)=2 \|f\|_\infty e^{-as}$. On explique ensuite que $g$ est intégrable (c'est le calcul que tu as fait) et donc TCD s'applique. Ton calcul convient, mais pas la rédaction car tu dis simplement que les $\psi_n$ sont intégrables mais l'hypothèse de domination est plus exigeante (elle dit fondamentalement que $\sup_n |\psi_n|$ est intégrable
Dans I3b moi je dirais qu'une réunion dénombrable de parties dénombrables (les $D_p$ le sont car sont finies) est dénombrable. (moi j'écrirais "au plus" mais le sujet prend la convention que les parties finies sont aussi dénombrables, donc le "au plus" est inutile).
J'ai arrêté ici pour l'instant
EDIT : une correction LATEX et explicitations concernant les valeurs absolues
Dans ce que j'ai signalé, il y a des choses qui sont simplement "dommage" car tu es y presque.
Par exemple, pour le TCD tu as tous les bons arguments (même si de mon point de vue on peut y aller plus court), mais comme tu l'as rédigé, ça ne passe pas.
De même, c'est une erreur classique sur des copies de voir qu'une intégrale $\int_a^b f(t)dt$ existe en partant comme argumentation $|\int_a^b f(t)dt| \leq \int_a^b |f(t)|dt $ et ensuite faire preuve de virtuosité pour montrer que celle de droite existe : là on écrit une formule avec un objet dont on ne sait pas s'il a un sens ; tandis que de considérer d'abord l'intégrale de droite, démontrer qu'elle est finie (avec $f$ continue par exemple) puis de dire que toute intégrale absolument convergente est convergente règle la question.
Quant aux $\Rightarrow$ mal utilisés c'est très courant.
Je peux retenter l'agrégation, et refaire une année à l'Inspe. Il s'agit de l'agrégation externe.
Après cela ne sera pas évident de gérer une classe, et cela sera quand même un peu plus simple si j'ai une classe de seconde.
Tout d'abord quelques remarques mineures :
- c'est bon d'indiquer dans quoi varient les objets introduits par les quantificateurs (p. 13 par exemple, pour N, n, p)
- je trouve la rédaction de II 1) un poil courte sur certains points. Par exemple (même rapidement) j'aurais détaillé en quelques mots pourquoi une CL finie d'une CL finie d'exponentielles en est une. C'est trivial, mais la question est triviale et figure en début de partie, donc mieux vaut la faire très bien lorsque ce n'est pas coûteux. Pareil, pour le fait que $f(.+b)$ j'aurais redit un mot "puisque ${\mathcal P}$ est un s.e.v." ; ça ne coûte pas grand chose mais tu montres au lecteur que tu sais pourquoi (si c'est bien dit pour un, ce n'est pas nécessairement de rappeler l'argument pour les suivants).
Ensuite
- dans I 4 d, le lecteur est-il censé deviner ce qu'est $(f_n)_n$ (même si cela se comprend) ?
- page 21 figure une grosse bêtise entre l'antépen-ultième et l'avant-dernière ligne. Tu dis en gros que pour tout $N$, on a $|u_N| <+\infty$ et tu en déduis que $|\lim_N u_N| <+\infty$ (cf. $u_n=n$ !). En fait il s'agissait simplement de constater que le terme général de ta série de fonctions est majoré en module (et même égal) à $|b_n|$, ce qui t'assure directement de la convergence normale (et a fortiori) de la convergence de la série. Une fois que tu sais que tu as la convergence, le passage à la limite dans les termes extrêmes de ce qui figure avant le "ainsi" te permet de démontrer que la fonction est majorée en module par $\sum_{n=0}^{+\infty} |b_n|$. En tout cas une inégalité stricte ne passe pas (par défaut) à la limite, même lorsqu'elle fait intervenir un $+\infty$
J'ai sans doute laissé passer des choses (je n'ai pu y passer que peu de temps), j'espère que tu auras d'autres lectures.
Merci beaucoup pour le temps que tu as passé à corriger ma copie.
Quel diagnostic est-ce que tu poses ?
- une rédaction trop rapide et même défaillante
- des erreurs qui sont vraiment évitables
- un manque de connaissances ?
- un manque de pratique pour résoudre des exercices ?
Si j'avais traité le même volume de questions, juste, est-ce que cela aurait été suffisant pour avoir 8 ou 9 ?
Je me demandais comment faire la question I.2.a ? Zestiria n'a pas réussi. Ma solution est-elle correcte ?
On résout $y'-\beta y=0$ c'est l'équation homogène. L'ensemble des solutions de $(E_0)$ sont les applications $x \mapsto C e^{\beta x}$ avec $C \in \C$
On utilise la méthode de la variation de la constante. Posons $y_p (x)= C(x) e^{\beta x}$
Or $y_p '(x)- \beta y_p(x)= C'(x) e^{\beta x} =f(x)$
D'où $C'(x)= f(x) e^{- \beta x}$
Ainsi $y(x)= C e^{\beta x} +\displaystyle\int_{0}^x f(t) e^{\beta (x-t)} dt $
Comme $y(0)=z_0$ cela donne $z_0= C $ donc $\boxed{y(x)=z_0 e^{\beta x} +\displaystyle\int_{0}^x f(t) e^{\beta (x-t)} dt}$
Tu ne réponds pas à la question de l'existence et de l'unicité.
Personnellement, pour les équations linéaires du premier ordre, je n'applique jamais la MVC, je fais la technique du facteur intégrant, ce qui est fondamentalement pareil mais évite de commencer par écrire explicitement la solution générale de l'équation sans second membre.
Au passage, pour celui qui ne justifie pas l'existence et l'unicité en amont, comme la technique du facteur intégrant pour être faite par équivalences, cela justifie au passage l'existence et l'unicité de la solution en plus de la donner.
Je me suis amusé à faire les questions que tu avais traitées, avec en plus celle soulevée par OShine.
Attention, c'est écrit mal et relativement rapidement (j'ai passé 50 min dessus), il faudrait être plus propre sur une copie, mais je pense (à quelques détails détaillés ci-dessous près) que les idées et arguments y sont.
J'ai cependant "bâclé" certaines choses. Le sujet est curieux par certains aspects, d'ailleurs sur le même thème j'ai préféré celui de l'interne de cette année aussi. Par exemple, j'écris dans II.1. que les $e_\lambda$ forment une base de $P$, à ce stade ce n'est qu'une famille génératrice (ce qui est suffisant pour conclure en fait), la liberté intervenant dans la question suivante. J'ai aussi un peu savonné la fin de la question, la stabilité de la famille des exponentielles qui nous intéressent par produit et conjugaison nous dit que $P$ est une algèbre stable par conjugaison.
J'ai souhaité finir ta question IV.1.a, j'annonce sans démonstration la continuité de la forme linéaire $g\mapsto a(g,\lambda)$, cela provient de III.1.c.
Le facteur intégrant consiste à remarquer que $(e^{A(x)}y(x))'=e^{A(x)} (y'(x)+A'(x) y(x))$.
Par conséquent, pour résoudre $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$, tu as intérêt à multiplier le tout par l'exponentielle d'une primitive de $a$, de sorte de reconnaître à gauche une dérivée.
Je l'ai fait sur ma pseudo-copie pour te montrer sur l'exemple en question.
Tu trouves la même chose que moi à la question. L'existence et l'unicité provient du cours.
Merci pour ton corrigé.
Je ne comprends pas la définition de la somme $\displaystyle\sum_{j \in J} a_j$
Pourquoi on définit cette somme comme la borne supérieure de $\{ \displaystyle\sum_{j \in S} a_j \ | \ S \subset J \ \text{ avec S non vide et fini} \}$
Pour moi cette somme signifie qu'on somme les $a_j$ avec $j$ dans $J$ c'est tout. Je ne comprends pas d'où sort la borne supérieure...
OS quel sens a $\sum_{n\in \mathbb{N}^+}\frac{(-1)^n}{n}?$ Tu as sans doute vu ailleurs que le resultat depend de l'ordre choisi sur les entiers. Miraculeusement, quand on somme des nombres positifs le resultat ne depend pas de l'ordre. Donc, bof ,tu n'as pas tout a fait tort en trouvant entortillee la definition de $\sum_{j\in J} a_j $ si les $a_j$ sont $\geq 0.$
Imaginons pour simplifier que $p=1$ et que la somme totale fasse $1000$. Comme tous les termes sont positifs, la somme totale est plus grande que la somme n'importe quel sous ensemble fini inclus dans $D_1$ en particulier (c'est ce que signifie le sup). Imaginons que tu sommes $N$ termes qui seraient tous dans $D_1$, donc tous supérieurs à $1/(2^1)=1/2$. Leur somme fait au moins $N/2$. Donc $1000 \geq N/2$ de sorte que $N \leq 2000$. Tu ne peux pas avoir plus de $2000$ termes dans $D_1$.
Après il s'agit d'écrire l'idée avec la somme (et non $1000$) , et pour $p$ quelconque.
P. : sauf qu'on ne connaît que la somme finie avec l'algèbre du corps des réels. Une somme infinie, même de termes positifs, doit quand même être définie comme une limite, bien que ce soit intuitif.
Et une somme du type $\Sigma_{x \in \mathbb{R}}a_{x}$, ça aurait donc un sens intuitif sachant qu'on n'a pas d'équivalent totalement satisfaisant de la somme partielle ? Bah pour définir la somme on n'a pas d'autre choix que de passer par le sup sur les sommes finies.
Si on n'avait pas posé la définition tu aurais chouiné que tu ne connaissais pas les sommes infinies sur un ensemble quelconque OS...
Dire qu'on ne sait pas qu'une somme indexée par les entiers est une limite après le chapitre sur les suites me laisse sans voix. Tu n'as donc pas compris la définition de base du grand I petit 1) petit a petit alpha premier point du cours et tu dis être doué sur ce chapitre...
OShine écrivait:
> L'existence et l'unicité provient du cours.
Certes, mais si tu ne le dis pas en citant le théorème que tu appliques et en en vérifiant les hypothèses, tu n'as pas les points.
Au passage, j'ai souhaité te faire le raisonnement par équivalences (pour le cas où ce th. ne serait pas cité), mais je m'y suis mal pris, j'ai oublié à un stade (lorsque j'intègre) de ré-écrire $y(0)=z_0$.
Ok @maths2 merci mais un détail me perturbe dans ton raisonnement. Pour moi, il est incomplet.
Si $D_p$ contient au moins $N$ éléments alors $N \leq 2^p \displaystyle\sum_{j \in J} a_j$ je suis d'accord.
Mais je ne vois pas en quoi ça démontre que $card (D_p) \leq 2^p \displaystyle\sum_{j \in J} a_j$ Je ne comprends pas ce dernier passage. $D_p$ peut contenir plus de $N$ éléments, or on a juste démontrer que le cardinal de ces $N$ éléments est fini.
Pour l'autre question, je préfère la méthode de la variation de la constante, je la maitrise mieux.
J'avoue que j'ai du mal à comprendre ce qui te gêne ... Soit $A$ une partie telle que tout-sous ensemble fini de $A$ possède au maximum $28$ éléments. N'en déduit-on pas que $A$ est un ensemble fini et que son cardinal est majoré par $28$ ? Sinon tu pourrais trouver une partie finie de $A$ ayant $29$ éléments, ce qui contredit l'hypothèse.
Zestiria avoir une bonne note au capes ne veut rien dire, c'est tellement bidon comme épreuve.
C'est comme les élèves qui ont 19 de moyenne en terminale et sont perdus en prépa à être dernier du classement. Etre fort sur des choses faciles ne garantit pas d'être fort quand le niveau s'élève.
Je ne suis pas sûr que ton camarade de l'inspé soit meilleur que moi en maths alors que j'ai eu 9/20 aux épreuves.
J'ai toujours été habitué à travailler sur des sujets difficiles de Centrale MP et Mines Ponts.
Oui, mais ne pas savoir rédiger correctement des questions début L1 garantit de ne pas avoir le niveau suffisant à l’agrégation !
Étrangement, mes collègues agrégés ayant passé le CAPES auparavant avaient plutôt des notes comprises entre 15 et 20 au CAPES. La réciproque n'est pas vraie, mais la contraposée est vraie...
Il n'a pas eu 10 au CAPES... Qu'il ne vienne pas dire que il est meilleur que ceux qui ont eu le double de sa note. On attend avec impatience tes copies d'agreg OShine !
Réponses
Edit:Algèbre
$h(x):=x$ n'est pas très heureux. Je pense qu'il faut faire une phrase, par exemple : "soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $h(x)=x$, pour tout réel $x$" (ou un truc ressemblant)
la ligne suivante n'a pas le sens que tu souhaiterais lui donner, à gauche tu as une fonction évaluée en $x$, donc en pratique un nombre réel, à droite quelque chose qui est une vraie fonction. Les objets ne sont pas de même nature et donc ne peuvent être égaux. A moins que ta copie brille par la suite, tu donnes l'impression de confondre fonction et valeur de la fonction en un $x$ arbitraire.
dans la ligne qui suit, tu emploies le symbole $\Rightarrow$ dans le sens de "donc" et non dans le sens qu'il a. Si c'est l'usage dans certains pays ou dans des articles de recherche, ce n'est pas ce qui est attendu à un concours ou à un examen. Mieux vaut utiliser des mots clés, tels : par conséquent, on en déduit, il vient, d'où, ...
Je corrige ces points à mes étudiants de première année et je les sanctionne à partir de la deuxième année, je pense qu'à l'agreg ça ne passe pas du tout, sauf si la copie est de bon niveau par ailleurs.
Si j'ai un peu de temps vendredi, je regarderai la suite, en espérant te faire des remarques de fond (attention, ces remarques sont importantes et comme c'est le début de la copie, je ne pense pas que tu te sois mis le correcteur dans la poche).
EDIT : je parle de la copie d'AP, bien entendu
Une remarque supplémentaire: ça ne mange pas de pain de rajouter un $n\rightarrow+\infty $ sous les flèches pour la convergence. Il le manque d'entrée et ça met pas le jury en confiance.
Après d'un point de vue logique ça ne me gène pas qu'on écrive: $\forall n\in\N^{*},\quad\forall x\in\R\quad h_{n}(x)-h(x)=\dfrac{1}{n}\Longrightarrow ||h_{n}-h||_{\infty}=\dfrac{1}{n}$
ET ce qui je pense n'a pas mis le jury dans de bonnes dispositions: C'est de dire $(h_{n})$ converge uniformément vers $h$ sur $\R$ ( on converge simplement, uniformément, normalement, ect ect, sur un domaine qu'il faut préciser) et il est juste dit converge uniformément. Oui mais sur qui?
Edit: J'ai corrigé le $\N$ en $\N^{*}$
Mais je pense que ta copie n'est pas rédigée du tout et qu'il faudrait au moins le faire pour les premières questions, comme dit ci-dessus.
Je ne me hasarderai pas cependant à donner des leçons car j'obtiens le même genre de notes. Cependant, ça le fait facilement avec seulement 4 pages et non 40 (économie d'encre, de tendinite, d'arbres coupés, sauver la planète, tout ça...).
Le souci sur le point de vue logique est juste que le raisonnement proposé page 1 ne se contente pas de l'implication, mais bien du fait que le départ et l'implication étant tous deux vrais, il en est de même de l'arrivée. C'est écrit nulle part et un simple mot clé aurait évité cette phrase.
Sinon j'ai repris un bout de page au hasard. Tu appliques en bas de la page 5 le th de convergence dominée mais la manière dont tu l'appliques n'est pas valable. Tu ne dois pas démontrer que les $\psi_n$ sont intégrables, mais que tu peux les majorer (en valeur absolue) par quelque chose d'intégrable. En fait tu as fait la majoration juste au dessus, il te suffisait de justifier que la majorante est intégrable. Là je suis absolument certain que tu as perdu des points.
EDIT : ajout page 5
Tu aurais écrit soit $x\in \R$ et $h:z\mapsto z$, cela aurait exactement le même sens, la lettre avant $\mapsto$ étant nécessairement muette.
Si on remplace les $1/n$ par des $e^{-n}$, l'implication sera tout aussi juste mais on ne pourra rien en déduire puisque le départ est faux. Donc le jury ne peut pas se contenter que le candidat constate que l'implication est juste pour dire que le raisonnement est complet.
Alors que poser un $x$ réel et tout de suite poser une fonction de ce $x$ en a peut-être plus, en tout cas pour moi et peut-être pour le commun des mortels. Bref, je ne sanctionne pas les élèves pour ça.
J'ai survolé les 11 premières pages en découvrant le sujet vraiment en même temps, donc ma lecture est très parcellaire, j'ai donc sans doute laissé passer des choses voire écrit des conneries, mais voici mes remarques :
- page 1 : ligne 2 je t'avais dit n'importe quoi j'avais lu une indicatrice ...
Je maintiens de ne pas utiliser $\Rightarrow$ pour d'où
page 2 ta majoration de $|2x+1/n|$ par $|2x+1|$ est grossièrement fausse (cf $x=-1/2$ ; $a\leq b$ n'implique pas $|a|\leq |b|$) ; en revanche tu peux majorer par $2|x|+1/n$, donc par $2|x|+1$
vers le milieu,il est faux que $|f_n| \leq \|f\|_\infty$ (cf $f_n:x\mapsto 1/n$). Un argument possible était de majorer $|f_n| $ par $\|f_n\|_\infty$ dire que la suite $(\|f_n\|_\infty)_n$ converge vers $\|f\|_\infty$ (car $| \|f_n\|_\infty-\|f\|_\infty|\leq \|f_n-f\|_\infty$) donc est bornée
page 3 dans I1a dernière ligne tu écris une inégalité entre complexes, ça n'a pas de sens. Par ailleurs, tu sembles penser que pour démontrer $|A|\leq B$, il suffit de démontrer que $A \leq B$. Même si $A$ est réel, c'est faux s'il est négatif (même problème que ta majoration de la page 2, je pense). Tu pouvais raisonner directement sur $\int_0^{+\infty} |e^{-as}|ds$ pour obtenir la majoration puis utiliser $|\int_a^b f(t)dt | \leq \int_a^b |f(t)|dt$ si $a<b$).
Pour démontrer que l'expression est bien définie milieu de page 4, tu démontres en pratique la convergence absolue de l'intégrale et on en déduit la CV. C'est en pratique le calcul que tu fais, sauf que tu commences par écrire $(K_\alpha f)(t)$ sans savoir qu'il existe. Il vaut donc de mon point de vue supprimer la première ligne après ce qui est rayé et le signe $\leq$, mais conclure la CV absolue donc la convergence, ainsi que la majoration. Je ne sais pas pourquoi la notation $\|f\|_\infty$ perd une barre.
Dans l'absolu on aurait pu appliquer directement TCD sur $K_\alpha f(t_n)$. Même en suivant ce que tu as fait, moi je poserais $\psi_n(t)=e^{-(a+ib)s} (f(t_n+s)-f(t+s))$. J'explique que la fonction $\psi_n$ a la bonne régularité, puis j'écris que $|\psi_n(t)| \leq g(t)$ avec $g(t)=2 \|f\|_\infty e^{-as}$. On explique ensuite que $g$ est intégrable (c'est le calcul que tu as fait) et donc TCD s'applique. Ton calcul convient, mais pas la rédaction car tu dis simplement que les $\psi_n$ sont intégrables mais l'hypothèse de domination est plus exigeante (elle dit fondamentalement que $\sup_n |\psi_n|$ est intégrable
Dans I3b moi je dirais qu'une réunion dénombrable de parties dénombrables (les $D_p$ le sont car sont finies) est dénombrable. (moi j'écrirais "au plus" mais le sujet prend la convention que les parties finies sont aussi dénombrables, donc le "au plus" est inutile).
J'ai arrêté ici pour l'instant
EDIT : une correction LATEX et explicitations concernant les valeurs absolues
Par exemple, pour le TCD tu as tous les bons arguments (même si de mon point de vue on peut y aller plus court), mais comme tu l'as rédigé, ça ne passe pas.
De même, c'est une erreur classique sur des copies de voir qu'une intégrale $\int_a^b f(t)dt$ existe en partant comme argumentation $|\int_a^b f(t)dt| \leq \int_a^b |f(t)|dt $ et ensuite faire preuve de virtuosité pour montrer que celle de droite existe : là on écrit une formule avec un objet dont on ne sait pas s'il a un sens ; tandis que de considérer d'abord l'intégrale de droite, démontrer qu'elle est finie (avec $f$ continue par exemple) puis de dire que toute intégrale absolument convergente est convergente règle la question.
Quant aux $\Rightarrow$ mal utilisés c'est très courant.
Si je peux je regarde la suite plus tard.
Après cela ne sera pas évident de gérer une classe, et cela sera quand même un peu plus simple si j'ai une classe de seconde.
Tout d'abord quelques remarques mineures :
- c'est bon d'indiquer dans quoi varient les objets introduits par les quantificateurs (p. 13 par exemple, pour N, n, p)
- je trouve la rédaction de II 1) un poil courte sur certains points. Par exemple (même rapidement) j'aurais détaillé en quelques mots pourquoi une CL finie d'une CL finie d'exponentielles en est une. C'est trivial, mais la question est triviale et figure en début de partie, donc mieux vaut la faire très bien lorsque ce n'est pas coûteux. Pareil, pour le fait que $f(.+b)$ j'aurais redit un mot "puisque ${\mathcal P}$ est un s.e.v." ; ça ne coûte pas grand chose mais tu montres au lecteur que tu sais pourquoi (si c'est bien dit pour un, ce n'est pas nécessairement de rappeler l'argument pour les suivants).
Ensuite
- dans I 4 d, le lecteur est-il censé deviner ce qu'est $(f_n)_n$ (même si cela se comprend) ?
- page 21 figure une grosse bêtise entre l'antépen-ultième et l'avant-dernière ligne. Tu dis en gros que pour tout $N$, on a $|u_N| <+\infty$ et tu en déduis que $|\lim_N u_N| <+\infty$ (cf. $u_n=n$ !). En fait il s'agissait simplement de constater que le terme général de ta série de fonctions est majoré en module (et même égal) à $|b_n|$, ce qui t'assure directement de la convergence normale (et a fortiori) de la convergence de la série. Une fois que tu sais que tu as la convergence, le passage à la limite dans les termes extrêmes de ce qui figure avant le "ainsi" te permet de démontrer que la fonction est majorée en module par $\sum_{n=0}^{+\infty} |b_n|$. En tout cas une inégalité stricte ne passe pas (par défaut) à la limite, même lorsqu'elle fait intervenir un $+\infty$
J'ai sans doute laissé passer des choses (je n'ai pu y passer que peu de temps), j'espère que tu auras d'autres lectures.
Quel diagnostic est-ce que tu poses ?
- une rédaction trop rapide et même défaillante
- des erreurs qui sont vraiment évitables
- un manque de connaissances ?
- un manque de pratique pour résoudre des exercices ?
Si j'avais traité le même volume de questions, juste, est-ce que cela aurait été suffisant pour avoir 8 ou 9 ?
Ca ressemble à un niveau Polytechnique MP avec beaucoup plus de questions.
On résout $y'-\beta y=0$ c'est l'équation homogène. L'ensemble des solutions de $(E_0)$ sont les applications $x \mapsto C e^{\beta x}$ avec $C \in \C$
On utilise la méthode de la variation de la constante. Posons $y_p (x)= C(x) e^{\beta x}$
Or $y_p '(x)- \beta y_p(x)= C'(x) e^{\beta x} =f(x)$
D'où $C'(x)= f(x) e^{- \beta x}$
Ainsi $y(x)= C e^{\beta x} +\displaystyle\int_{0}^x f(t) e^{\beta (x-t)} dt $
Comme $y(0)=z_0$ cela donne $z_0= C $ donc $\boxed{y(x)=z_0 e^{\beta x} +\displaystyle\int_{0}^x f(t) e^{\beta (x-t)} dt}$
Personnellement, pour les équations linéaires du premier ordre, je n'applique jamais la MVC, je fais la technique du facteur intégrant, ce qui est fondamentalement pareil mais évite de commencer par écrire explicitement la solution générale de l'équation sans second membre.
Au passage, pour celui qui ne justifie pas l'existence et l'unicité en amont, comme la technique du facteur intégrant pour être faite par équivalences, cela justifie au passage l'existence et l'unicité de la solution en plus de la donner.
C'est une des conséquences de se limiter aux programmes (actuels).
À bientôt.
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Attention, c'est écrit mal et relativement rapidement (j'ai passé 50 min dessus), il faudrait être plus propre sur une copie, mais je pense (à quelques détails détaillés ci-dessous près) que les idées et arguments y sont.
J'ai cependant "bâclé" certaines choses. Le sujet est curieux par certains aspects, d'ailleurs sur le même thème j'ai préféré celui de l'interne de cette année aussi. Par exemple, j'écris dans II.1. que les $e_\lambda$ forment une base de $P$, à ce stade ce n'est qu'une famille génératrice (ce qui est suffisant pour conclure en fait), la liberté intervenant dans la question suivante. J'ai aussi un peu savonné la fin de la question, la stabilité de la famille des exponentielles qui nous intéressent par produit et conjugaison nous dit que $P$ est une algèbre stable par conjugaison.
J'ai souhaité finir ta question IV.1.a, j'annonce sans démonstration la continuité de la forme linéaire $g\mapsto a(g,\lambda)$, cela provient de III.1.c.
Par conséquent, pour résoudre $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$, tu as intérêt à multiplier le tout par l'exponentielle d'une primitive de $a$, de sorte de reconnaître à gauche une dérivée.
Je l'ai fait sur ma pseudo-copie pour te montrer sur l'exemple en question.
Tu trouves la même chose que moi à la question. L'existence et l'unicité provient du cours.
Merci pour ton corrigé.
Je ne comprends pas la définition de la somme $\displaystyle\sum_{j \in J} a_j$
Pourquoi on définit cette somme comme la borne supérieure de $\{ \displaystyle\sum_{j \in S} a_j \ | \ S \subset J \ \text{ avec S non vide et fini} \}$
Pour moi cette somme signifie qu'on somme les $a_j$ avec $j$ dans $J$ c'est tout. Je ne comprends pas d'où sort la borne supérieure...
J
Tu es au courant que rien que pour une somme indexée sur les entiers naturels tu calculés une limite ?
Non je ne savais pas. Je dois étudier le cours sur les familles sommables ?
Je trouvais la définition fausse quand les $a_j$ étaient de signe quelconques.
Question I.3.a. Je ne comprends pas la logique du raisonnement.
Après il s'agit d'écrire l'idée avec la somme (et non $1000$) , et pour $p$ quelconque.
Et une somme du type $\Sigma_{x \in \mathbb{R}}a_{x}$, ça aurait donc un sens intuitif sachant qu'on n'a pas d'équivalent totalement satisfaisant de la somme partielle ? Bah pour définir la somme on n'a pas d'autre choix que de passer par le sup sur les sommes finies.
Si on n'avait pas posé la définition tu aurais chouiné que tu ne connaissais pas les sommes infinies sur un ensemble quelconque OS...
Dire qu'on ne sait pas qu'une somme indexée par les entiers est une limite après le chapitre sur les suites me laisse sans voix. Tu n'as donc pas compris la définition de base du grand I petit 1) petit a petit alpha premier point du cours et tu dis être doué sur ce chapitre...
> L'existence et l'unicité provient du cours.
Certes, mais si tu ne le dis pas en citant le théorème que tu appliques et en en vérifiant les hypothèses, tu n'as pas les points.
Au passage, j'ai souhaité te faire le raisonnement par équivalences (pour le cas où ce th. ne serait pas cité), mais je m'y suis mal pris, j'ai oublié à un stade (lorsque j'intègre) de ré-écrire $y(0)=z_0$.
Si $D_p$ contient au moins $N$ éléments alors $N \leq 2^p \displaystyle\sum_{j \in J} a_j$ je suis d'accord.
Mais je ne vois pas en quoi ça démontre que $card (D_p) \leq 2^p \displaystyle\sum_{j \in J} a_j$ Je ne comprends pas ce dernier passage. $D_p$ peut contenir plus de $N$ éléments, or on a juste démontrer que le cardinal de ces $N$ éléments est fini.
Pour l'autre question, je préfère la méthode de la variation de la constante, je la maitrise mieux.
@RLC ok je n'avais pas pensé aux sommes infinies.
J'ai un camarade à l'Inspe :
- il a eu 17,5 et 16 à la première et la deuxième épreuves du CAPES
- il n'a pas été admissible non plus à l'agrégation
C'est comme les élèves qui ont 19 de moyenne en terminale et sont perdus en prépa à être dernier du classement. Etre fort sur des choses faciles ne garantit pas d'être fort quand le niveau s'élève.
Je ne suis pas sûr que ton camarade de l'inspé soit meilleur que moi en maths alors que j'ai eu 9/20 aux épreuves.
J'ai toujours été habitué à travailler sur des sujets difficiles de Centrale MP et Mines Ponts.
Ça va les chevilles ? T'as eu 9/20 a des épreuves bidon comme tu dis et tu viens critiquer la réussite de quelqu'un que tu ne connais pas ?
En tous cas, s'il a eu plus de 7 points de plus a chaque épreuve, le jury ne semble pas être de ton avis....
Étrangement, mes collègues agrégés ayant passé le CAPES auparavant avaient plutôt des notes comprises entre 15 et 20 au CAPES. La réciproque n'est pas vraie, mais la contraposée est vraie...
Il n'a pas eu 10 au CAPES... Qu'il ne vienne pas dire que il est meilleur que ceux qui ont eu le double de sa note. On attend avec impatience tes copies d'agreg OShine !