Codimension dans ev de dim infinie (leçon107)

papao
papao
dans Concours et Examens
Bonsoir.
Je relisais en vue de la leçon 107 de l'agreg interne (dimension d'un ev ...) et je me posais la question : a-t-on un exemple d'ev de dimension infinie dont un sev serait de codimension finie (donc qui accepterait un supplémentaire de dimension finie) ?
Une idée, quelqu'un(e) ?

Réponses

  • Guego
    Guego
    N'importe quel hyperplan fait l'affaire. Prends par exemple, les fonctions continues $f$ sur $\R$ telles que $f(0)=0$. C'est un sous-espace de codimension $1$ de l'espace des fonctions continues sur $\R$.
  • papao
    papao
    La codimension est 1 parce qu'il admet un supplémentaire de dim 1 ou parce que l'espace quotient est de dimension 1 ? Lequel est le plus simple à voir ? Parce que je ne vois pas, là... Des fois, je passe à côté de trucs simples...
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Prends un espace de polynômes et le sous-espace des polynômes qui s’annulent en 0.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • papao
    papao
    Toute fonction continue f sur R est somme (unique, même) d'une fonction continue sur R et s'annulant en 0 et d'une fonction constante égale à f(0). Ces dernières forment un sev isomorphe à R donc de dimension 1. Les fonctions continues nulles à l'origine sont donc (un hyperplan) un sev de codimension 1.

    J'ai mis 1h30 à comprendre le coup de la constante... Pas à dire, bosser en collège, ça ankylose.

    Merci à tous pour votre rapidité et votre efficacité.
  • CédricC
    CédricC
    Moi, j'ai mis du temps à te comprendre à cause du "ces dernières" :)
    Ta formulation est trompeuse... Mais l'idée est là ;)
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