L'espace $H_0^1(]0,1[)$
Bonjour tout le monde et bonne année,
Dans le paragraphe consacré aux espaces de Hilbert du programme de l'agrégation externe, il est écrit : "Espace $H_0^1 \left(\left]0,1\right[\right)$ et application au problème de Dirichlet en dimension un." Connaissant peu le sujet, je me suis écrit un texte sur le problème variationnel associé, à partir de vieilles notes. Le style est lapidaire, c'est juste une trame. Ce que je trouve embêtant, c'est que j'utilise des résultats qui ne sont pas au programme. Quatre questions : ai-je écrit des bêtises ? Peut-on se passer du hors-programme pour atteindre le même résultat (théorème) ? A votre avis, qu'attend-on des candidats sur le sujet ?
Merci pour vos retours,
B
Dans le paragraphe consacré aux espaces de Hilbert du programme de l'agrégation externe, il est écrit : "Espace $H_0^1 \left(\left]0,1\right[\right)$ et application au problème de Dirichlet en dimension un." Connaissant peu le sujet, je me suis écrit un texte sur le problème variationnel associé, à partir de vieilles notes. Le style est lapidaire, c'est juste une trame. Ce que je trouve embêtant, c'est que j'utilise des résultats qui ne sont pas au programme. Quatre questions : ai-je écrit des bêtises ? Peut-on se passer du hors-programme pour atteindre le même résultat (théorème) ? A votre avis, qu'attend-on des candidats sur le sujet ?
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B
Pour contourner cela, tu peux appliquer le théorème de Riesz à $J$ pour montrer l'unicité d'un minimum qui est solution de l'équation aux conditions de Dirichlet. Cela est fait dans le Brézis par exemple.
Sinon dans mes souvenirs il y a quelques années le jury disait que des développements sur $H^1_0$ étaient à réserver aux candidats les plus "solides". Si c'est toujours le cas on peut très bien s'en sortir avec une très bonne note sans parler d'espaces de Sobolev.
C'était central dans cours de master et ça tournait beaucoup autour de ce type d'équation:
- on teste contre des fonctions test
- on trouve une forme bilinéaire coercive
- on trouve la solution faible
- elle est unique et donc bla bla bla
En fait on trouvait ça très agréable.