Épreuve 1 - agrégation interne 2002

P1.

A est dans E, fini ou infini. Non vide, il existe $a \ne 0$ dans A tel que $st(a) > 0$.
Donc $\{ st(a) / a\in A, a \ne 0\}$ est non vide minoré par 0.
Il admet un $inf$ et $val(A)$ est un élément défini de $\mathbb{N}$

P2.

Soit $b$ un élément de A tel que $st(b)$ = val(A):
Deux alternatives: $b$ divise tous les éléments de A,
ou bien il existe un élément de A que $b$ ne divise pas. On note $a$ cet élément.
Avec les notations de l'énoncé, on aura $a = bq + r ; st(r)<st(b)$. Or, $st(b)<st(a)$.

Donc$ val(A \cup \{r\}) < val(A)$

P3.

En réitérant l'opération précédente sur l'ensemble $B_1 = A \cup \{r_1\}$ tel que $ val(A \cup \{r_1\}) < val(A)$,
on obtiendra $B_2 = B_1 \cup \{r_2\} = A \cup \{r_1;r_2\}$ tel que $ val(B_1 \cup \{r_2\}) < val(B_1)<val(A)$
Par construction, $r_2$ divise $r_1$.
D'autre part, en itérant sur des ensembles $B_{i+1}= B_i \cup \{r_{i+1} \}$, la suite de nombre entiers positifs $val(B_n)$ est strictement décroissante, donc finie.
Le nombre d' opérations élémentaires permettant la constructions des ensembles $B_n$ est donc fini.
Et par construction, en notant$B=B_n$, $r_n$ divise tous les éléments de $B$.

P4.

$r_n$ est décroissante et stoppe dès que $r_n$ divise tous les éléments de $A$.
Tous les diviseurs suivants seront donc inférieurs à $r_n$. Et donc $r_n = e$, e étant le p.g.c.d. des éléments de A.

P5.

$A=\{6;10;15\}$ et $val(A)=6$.

6 ne divise pas 10 (ni 15 d'ailleurs), $10 = 6 \times 1 + 4$ et $B_1= A \cup \{4\}$ et $val(B_1)=4$

4 ne divise pas 6 (ni 10, ni 15 d'ailleurs), $6 = 4 \times 1 + 2$ et $B_2= B_1 \cup \{2\} = A \cup \{4;2\}$ et $val(B_2)=2$

2 divise 4, 6 et 10 mais pas 15, $15 = 2 \times 7 + 1$ et $B_3= B_2 \cup \{1\} = A \cup \{4;2;1\}$ et $val(B_3)=1$

1 divise 2, 4, 6 et 10 et 15.

Le p.g.c.d. des éléments de A est égal à 1.

I.1.

Si $P \in M_{p,p}(E)$ est inversible, alors $P$ a un inverse $P^{-1}\in M_{p,p}(E)$.

$PP^{-1} = I_p$ et $det(PP^{-1})=det(P) \times det(P^{-1})=1$.

Donc $det(P)\neq0$ et $det(P^{-1})=\frac{1}{det(P)}$.

Or $det(P^{-1}) \in E$ donc $det(P)\in U(E)$

Réciproquement, si $det(P)\in U(E)$, $det(P)\neq0$ et donc $P$ est inversible.

I.2.

$\simeq^{E}$ est évidemment réflexive car $M'\simeq^{E}M'$ en remarquant que $M'=I_pM'I_q$.

$M''=PM'Q$ donne immédiatement $P^{-1}M''Q^{-1} = M'$ et $M'\simeq^{E}M''$. Donc $\simeq^{E}$ est symétrique.

Considérons $M,M' et M''$ telles que $M\simeq^{E}M'$ et $M'\simeq^{E}M''$.

Donc $M'=P_1MQ_1$ et $M''=P_2M'Q_2$.

Il vient immédiatement: $M''=P_2P_1MQ_1Q_2$

En notant $P=P_2P_1$, il est facile de voir que $P$ est inversible car $P_2$ et $P_1$ le sont, donc $P_2P_1P_1^{-1}P_2^{-1}=P_2P_1(P_2P_1)^{-1}=I_p$

De même, en posant $Q=Q_1Q_2$, on pourra écrire $M''=PMQ$

Donc $\simeq^{ E}$ est transitive.

On peut donc conclure que $\simeq^{ E}$ est une relation d'équivalence.

I3.(i.)

$T_{i,j}^{(p)}(b) \times A$ donnera tous les coefficients de $A$ sauf sur la $i^{ème}$ ligne qui sera de la forme:

$\begin{pmatrix}

a_{i,1}+ba_{1,j}&a_{i,2}+ba_{2,j}&a_{i,3}+ba_{3,j}&.&.&a_{i,j}+ba_{j,j}&.&.&a_{i,q}+ba_{q,j}

\end{pmatrix}$

$S_{i,j}^{(p)} \times A$ permute les coefficients de la $i^{ème}$ ligne de $A$ avec les coefficients de la $j^{ème}$ ligne de $A$

$D(u_1,u_2,....,u_p) \times A$ multiplie les coefficients de la $1^{ère}$ ligne de $A$ par $u_1$, de la $2^{ème}$ ligne de $A$ par $u_2$,.... et de la $p^{ème}$ ligne de $A$ par $u_p$

I.3.(ii.)
Les matrices sont inversibles car chacun de leurs déterminants est unitaire (cf I.3.(i.)).

C'est évident pour $T_{i,j}^{(p)}(b)$ triangulaire supérieure ou inférieure, dont la diagonale est constituée de 1.

Pour $S_{i,j}^{(p)}$, en développant le déterminant suivant la $j^{ème}$ colonne, le seul mineur non nul sera le déterminant d'une matrice triangulaire dont la diagonale est constituée de 1. Donc $det(S_{i,j}^{(p)}) = 1$

Enfin, $det(D(u_1,u_2,....,u_p))=u_1 \times u_ 2\times....\times u_p)$ qui est un prosuit de termes unitaire, donc $det(D(u_1,u_2,....,u_p)) \in U(E)$

En observant le calcul termes à termes,

L'inverse de $T_{i,j}^{(p)}(-b)$

L'inverse de $S_{i,j}^{(p)}$ est $S_{j,i}^{(p)}$

L'inverse de $D(u_1,u_2,....,u_p)$ est $D(\frac{1}{u_1},\frac{1}{u_2},....,\frac{1}{u_p})$

I.3.(iii.)

Je ne sais pas trop comment rédiger cette question... vu l'action de ces opérations élémentaires sur $A$... il semble évident que le p.g.c.d. ne change pas.

Pour $S_{i,j}^{(p)} \times A$ les coefficients sont les mêmes, simplement pas agencés de la même manière.

Pou r$D(u_1,u_2,....,u_p) \times A$ les coefficients sont les mêmes à une "unité signée" près....

Peut-être préciser pour les coefficients de la ligne i de $T_{i,j}^{(p)}(b) \times A$

Si e est le pgcd de $\{a_{i,j}, i \in \[1;p] et j \in \[1;q \}$ l'ensemble des coefficients de $A$

Alors e est le pgcd de $\{a_{i,j}, i \in [1;p] et j \in [1;q] \} \cup \{a_{i,1}+ba_{1,j} \} \cup \{a_{i,2}+ba_{2,j} \} \cup ....$ non?...

Je ne vois pas très bien ce que l'on nous demande de justifier.... si une âme charitable a eu la patience de me lire....