AgregMG 2020 exercice 2 question 4

Amédé
Amédé
dans Concours et Examens
Bonjour,
tout est dans le titre. J'ai essayé de résoudre cette question, mais sans succès.
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Peut-être auras-tu davantage de réponses si tu déposes un lien ou mieux, si tu déposes le cliché de la question avec le contexte s’il y en a besoin.

    Cordialement

    Dom
  • Amédé
    Amédé
    Bonsoir,

    voici le lien vers le sujet .
  • Mieses
    Mieses
    Bonsoir,
    De mémoire j’avais utilisé les fonctions symétriques des racines de $g$.
  • Guego
    Guego
    Oui, il faut utiliser les relations coefficients-racines, et majorer ensuite en se servant de la question 3.
  • Siméon
    Siméon
    Autre solution : exprimer les coefficients $g_0,\dots,g_{k-1}$ sous forme intégrale :
    $$
    \forall j\in\{0,\dots,k-1\},\quad g_j = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} g(e^{i\theta}) e^{-ij\theta}\,d\theta,
    $$
    puis majorer avec l'inégalité triangulaire sachant que les racines de $g$ sont dans le disque de rayon $1 + \|f\|_\infty$.
  • Amédé
    Amédé
    Merci pour vos réponses,
    avec la deuxième méthode j'ai obtenu :

    $\forall j\in\{0,\ldots,k-1\},\ |g_{j}|\leq 1+k||f||_{\infty}$. J'en déduis la majoration souhaitée.
  • OShine
    OShine
    Cet exercice est accessible à un niveau MPSI ou MP ?
  • Guego
    Guego
    Ça n'utilise pas de notion qui dépasse le programme de prépa, donc en théorie, oui. En rajoutant des questions supplémentaires, on peut en faire un exo de MPSI. En pratique, tel que l'exo est posé, je dirais plutôt MP*.
  • OShine
    OShine
    Ok merci, perso je n'arrive à faire aucune question.
  • Siméon
    Siméon
    Amédé, comment arrives-tu au $1+k\|f\|_\infty$ de ton message précédent ?
  • Amédé
    Amédé
    Bonjour,

    en prenant le module de $g_{j}$.

    $|g_{j}|\leq \cfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{|g(e^{i\theta})|d\theta}$. Ensuite $g(e^{i\theta})=e^{ik\theta}+\sum\limits_{l=0}^{k-1}{g_{l}e^{il\theta}}$ et j'intègre. Puis j'applique l'inégalité triangulaire. Mais j'ai peut-être fait une connerie.
  • Amédé
    Amédé
    Pour les question 1 2 et 3 c'est une application du lemme de Hadamard pour le matrices à diagonales dominante.
  • bisam
    bisam
    Oshine : La réponse à la deuxième question est quasiment donnée dans l'énoncé !
    Quant à la 3ème, il paraît évident à la lecture (même si je ne l'ai pas rédigée) qu'il s'agit d'une application de la 1ère question.
    Il reste la première qui est tellement classique qu'elle doit figurer dans les feuilles d'exercices de la quasi-totalité des classes prépas... mais si on ne l'a jamais rencontrée, on peut démontrer le résultat en seulement quelques lignes (encore faut-il trouver la bonne idée de départ).
  • Siméon
    Siméon
    Amédé, c'est ta majoration de $|g(e^{i\theta})|$ qui me semble suspecte. En notant $\rho_1,\dots,\rho_k$ les racines de $g$ comptées avec multiplicités, on sait que $g(e^{i\theta}) = \prod_{j=1}^k (e^{i\theta} - \rho_j)$ puisque $g$ est unitaire. On majore alors facilement les $|e^{i\theta} - \rho_j|$ grâce à la question précédente. Mais j'ai peut-être raté un truc plus efficace, c'est pour cela que je te demande.
  • OShine
    OShine
    @Bisam

    Ok merci.
    La question 2 est évidente en effet.

    On a $f(\lambda)=0=\det(A_f- \lambda I_d)=0$
    Le déterminant étant nul, $A_f-\lambda I_d$ n'est pas inversible.
    Je chercherai la 3 quand j'aurai du temps.
  • CHADAD Omar
    CHADAD Omar
    On peut penser aux relations qui lient les racines et les coefficients d'un polynôme
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