Leçon 107, agreg interne
dans Concours et Examens
Bonjour à tous.
Quelqu'un aurait une idée de développement pour la leçon dim d'un EV, rang d'une famille de vecteurs ?
J'ai pensé à la formule de Grassmann et au th de la base incomplète mais je trouve ça très léger et je n'ai pas grand chose dans mes bouquins pour tenir 20mn.
Merci.
Quelqu'un aurait une idée de développement pour la leçon dim d'un EV, rang d'une famille de vecteurs ?
J'ai pensé à la formule de Grassmann et au th de la base incomplète mais je trouve ça très léger et je n'ai pas grand chose dans mes bouquins pour tenir 20mn.
Merci.
Réponses
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Soit \( X_1, \ldots, X_p \) une famille de \( p \) parties distinctes non vides d'un ensemble fini à \( n \) éléments.
On suppose que pour tous \( i \neq j \) le cardinal de \( X_i, \cap X_j = a \), \( a \) entier fixé .
Démontrer que \( p \leqslant n \).
e.v.
[ Bah oui, non vides, sinon on peut se bricoler un contre exemple sans trop se fatiguer. Merci 0ka ]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je vais te faire gagner 5 minutes : c'est 15 minutes pour le développement ;-)...
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Et plus concrètement, j'ai noté dans mon fichier "Dénombrement polynômes irréductibles corps fini ? Théorème de Wedderburn" mais je n'ai pas encore fait cette leçon en détail. A mon avis, Wedderburn en fera partie...
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Il faut maitriser ce que l'on présente
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Par exemple : note $\tau_a : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la translation par $a$. Alors pour toute fonction dérivable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, la famille $(f\circ\tau_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est de rang fini si et seulement si $f$ satisfait une EDL homogène à coefficients constants (ie si et seulement si la famille $(f^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ est de rang fini). C'est dans FGN algèbre 1.
Il existe aussi développements qui utilisent une récurrence sur la dimension pour construire une "trigonalisation simultanée" : Lie-Kolchin, Engel, mais ce n'est peut-être pas exactement idéal pour cette leçon. -
Oui bien sûr, il faut maîtriser ce que l'on présente, mais il faut bien comprendre que l'on peut se faire avoir aussi sur des choses qui ont l'air simple en apparence...
Par ailleurs, c'est un calcul à faire pour élaborer sa "stratégie" : plus de 150 développements plus ou moins faciles (près de 80 oraux pour les leçons et autant pour les exercices) ou 3 à 4 fois moins mais un peu plus costauds en apparence ?
Sinon, j'ai aussi noté dans mon fichier : théorème de multiplicativité des degrés pour les extensions de corps...
De façon générale, beaucoup de leçons de l'interne sont plus ou moins traitées à l'externe et sur Internet, on trouve des recueils de plans à la pelle (taper : agrégation plan leçon développement dans Google...). Par exemple, la leçon 151 de l'externe s'intitule "Dimension finie d’un espace vectoriel. Rang. Applications."...
Dans un de ces poly, on trouve ces extraits de rapports de jury (externe) :C’est une leçon qui contrairement aux apparences est devenue difficile pour les candidats. Il faut absolument la préparer avec méthode. Nombre d’entre eux n’ont pas été capable de donner des réponses satisfaisantes à des questions élémentaires comme : un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ? Contrairement aux apparences, cette leçon classique présente des difficultés sur la logique de présentation, la cohérence du plan et le traitement intégral du sujet ! Il faut présenter une définition cohérente et pratique de la dimension finie. Les exemples doivent mettre en évidence la notion de rang ou dimension, par exemple en dualité, dans les formes quadratiques et bien-sûr sur les matrices. Le jury accepte que soit proposé en développement le traitement précis de points du cours, par exemple on peut proposer "Théorème de la dimension + base incomplète + dimension d’un sous-espace". Ne proposer que le théorème de la base incomplète, ou le théorème du rang, n’est pas suffisant au niveau de l’Agrégation.
Sinon, as-tu trouvé ce que tu allais développer finalement ? -
Bonjour,
plus modestement, j'ai présenté en développement les preuves des théorèmes de la base incomplète, de la base extraite, le lemme de Steinitz, le tout permettant de prouver qu'en dimension finie toutes les bases ont le même cardinal.
J'avais construit mon plan à partir du livre de Grifone.
A mon avis, sauf à être capable de les mener à leur terme, il ne sert pas à grand chose de présenter des choses stratosphériques. Mon niveau est modeste, je me contente d'essayer de présenter quelque chose de cohérent.
Lorsque je cherche des idées sur Internet, il m'arrive de voir des développements qui, de mon point de vue, sont démentiels et, en général, me viennent deux questions:
1 - Les personnes qui proposent ce type de développement sont-ils capables de présenter ça le jour J?
2 - Pourquoi ces mêmes personnes n'ont elles pas décroché l'externe?
Cordialement.
Y. -
As-tu des références (sites...) présentant des plans et/ou développements pour l'interne ? Pour l'externe, on en trouve à la pelle (l'ENS Rennes est un bon pourvoyeur ;-)), mais pour l'interne, je n'en ai pas vu énormément (https://www.agregorio.net/ par exemple).
Il faut tout de même bien voir que le travail demandé pour l'externe est nettement plus important en termes de limites (une épreuve supplémentaire à l'oral, un programme deux fois plus large en théorie...). La préparation de l'interne à un bon niveau (d'aucuns diront que c'est simplement le niveau attendu...) est déjà extrêmement coûteux en temps. Ceci peut expliquer cela. -
La formule de Grassmann se démontre de plusieurs façons : en exhibant une base, par les espaces produits, par les espaces quotients. Les trois mis ensemble peuvent faire un dev sympa, non ?
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Par les espaces quotients et produits je ne connais pes les preuves si tu as une référence?
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Une suite exacte : $$ 0 \to A\cap B \to A \times B \to A+B \to 0$$
Avec $A \cap B \to A \times B$ donné par $a \to (a,-a)$ et $A \times B \to A+B$ donné par $(a,b) \to a+b$. -
Quelques remarques.
$\bullet$ Je pense qu'il faut veiller à ne pas se prendre les pieds dans le tapis entre familles et parties.
$\bullet$ Je n'ai pas bien saisi jusqu'où on peut aller dans la question des dimensions infinies.
$\bullet$ Quand je faisais cours, ça m'a toujours saoulé de démontrer que pour un espace ayant un générateur fini, deux bases ont le même nombre d'éléments. Il y a une démonstration très simple avec la méthode du pivot.
$\bullet$ Un petit exo curieux. Il est bien connu que si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel, alors : $\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)$. À démontrer ou non dans la leçon, peut-être trop convenu, je ne sais.
Mais poursuivons : cette formule rappelle la formule du crible. Pour trois sous-espaces $F,G,H$ de dimensions finies, elle « devrait » donner :
$\dim (F+G+H)=\dim F+\dim G+\dim H-\dim (F\cap G)-\dim (G\cap H)-\dim (H\cap F)+\dim(F\cap G\cap H)$.
Mais voilà, cette dernière n'est pas vraie en toute généralité. Dire pourquoi et donner un contre-exemple. Démontrer qu'elle devient vraie en remplaçant « $=$» par « $\leq $».
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Les suites exactes ne sont plus au programme de l’externe depuis un moment, alors de l’interne… il vaut mieux assurer par ailleurs.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Chaurien c'est une bonne idée ton exo.
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@ geo
Merci. C'est une idée qui m'est venue.
L'ensemble des parties finies d'un ensemble, ordonné par inclusion, forme un treillis. L'inf de deux parties est leur intersection et le sup de deux parties est leur réunion. Ce treillis est distributif, et c'est cette distributivité qui fait marcher la formule du crible.
L'ensemble des sous-espaces de dimension finie d'un espace vectoriel, ordonné par inclusion, forme un treillis. L'inf de deux sous-espaces est leur intersection et le sup de deux sous-espaces est leur somme. Mais ce treillis n'est pas distributif, et c'est cette non-distributivité qui empêche la formule du crible de se généraliser à cette situation.
Si j'ai dit des bêtises, j'espère qu'AD me corrigera ; ça le changerait des corrections de fautes d'orthographe ;-).
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Si j'ai bien compris la leçon 107, il ne s'agit que de dimension finie.
Peut-on y caser des exos comme : dans un espace vectoriel normé E de dimension quelconque, un sous-espace F de dimension finie est fermé, et d'intérieur vide s'il n'est pas égal à E ?
Ou le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes ? -
Oui, les deux résultats que tu cites ont pour moi tout à fait leur place puisque la dimension finie y joue un rôle essentiel à chaque fois.
Il n'y a pas d'obligation à mettre de la topologie puisque c'est une leçon "algèbre", mais puisqu'il existe une leçon sur les espaces vectoriels normés de dimension finie, autant réinvestir un peu et mutualiser les développements pour faire baisser la charge... ;-) -
Je n'ai pas osé Riez à cause de la topologie.
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Bonsoir
Sauf erreur, il me semble que la propriété est encore vraie pour des espaces vectoriels de dimension infinie.
L'ensemble des sous-espaces de dimension finie ou infinie d'un espace vectoriel, ordonné par inclusion, forme un treillis. L'inf de deux sous-espaces est leur intersection et le sup de deux sous-espaces est leur somme le sous-espace engendré par les deux sous-espaces.
La raison découle de la propriété correspondante pour les groupes, et le fait qu'un espace vectoriel est un groupe pour l'addition.
Alain -
Bonsoir Skiveg
Je pensais faire la différence entre la somme de sous-espaces qui est formée de combinaisons linéaires sur un nombre fini d'éléments et le sous-espace engendré par les deux sous-espaces qui est le plus petit sous-espace les contenant tous les deux. Mais tu as raison, dans les deux cas, c'est le même sous-espace.
Dans ce cas, je m'aventure peut-être étant plus habitué aux groupes de type fini, mais le treillis des sous-espaces existe toujours, que l'espace soit de dimension finie ou infinie de la même manière que le treillis des sous-groupes d'un groupe existe toujours, que le groupe soit de type fini ou non. Dans ce cas l'inf est l'intersection et le sup le "sous-groupe engendré par les sous-groupes".
Alain -
Bonjour AD, et merci pour ta réponse,
Oui dans le cas des espaces vectoriels, on a juste besoin de prendre la somme, par commutativité (et finitude 1° du nombre des sous-espaces concernés par les sup et inf et 2° des combinaisons linéaires considérées dans la structure de sous-espace vectoriel).
Pour qu'il n'en soit pas ainsi dans un contexte vectoriel (ou même simplement commutatif), je me dis qu'il faut affaiblir les deux conditions de finitude, celle venant des treillis et celle venant des espaces... (Par exemple, une espèce de "treillis généralisé des sous-espaces fermés d'un ev topologique" ?) Mais bon ce n'est pas vraiment le sujet de la question initiale ! -
Je reviens sur mon idée de mêler un peu d'Analyse à la leçon. À la réflexion, le théorème de Riesz ne me semble pas opportun car sa démonstration consiste justement à se placer en dimension infinie.
Par contre je pense qu'on peut évoquer le résultat : « un sous-espace de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé ».
$\bullet$ Démonstration 1. Dans un espace vectoriel normé, un sous-espace de dimension finie est complet, et dans tout espace métrique une partie complète est fermée.
$\bullet$ Démonstration 2. Primo, si $E$ est un espace normé de dimension finie et $F$ un sous-espace, alors $F$ a un supplémentaire dans $E$, et $F$ est donc le noyau d'un projecteur ; et comme en dimension finie toute application linéaire est continue, ce noyau est fermé.
Secundo, si $E$ est un espace normé de dimension quelconque et $F$ un sous-espace de dimension finie, soit $x_n$ une suite d’éléments de $F$ qui a une limite $x$ dans $E$. D'après primo, le sous-espace $F$ est fermé dans $G=F+Vect(x)$, ce qui prouve que $x \in F$, et $F$ est fermé.
Cette démonstration 2 est plus longue, mais elle met bien en œuvre les propriétés de la dimension finie. Et accessoirement la démonstration 1 n'est plus valable dans les Math. Spé de 2017, qui ont refoulé suites de Cauchy et complétude.
Maintenant, inutile d'ajouter que ce sous-espace, s'il est autre que $E$, est d'intérieur vide, puisque ceci est vrai pour tout sous-espace autre que $E$, de dimension finie ou non.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
@geo : au contraire, on attend aussi une vision transverse me semble-t-il. Si le sujet est les e.v. de dimension finie, les utilisations/applications dans tous les domaines des maths où la question de la dimension est cruciale peuvent tout à fait figurer dans la leçon. Bien sûr, si l'on cite le théorème de Riesz, il faudra l'avoir travaillé avant et revu pendant la préparation parce qu'il y a fort à parier qu'une question du jury portera sur lui (énoncé précis, méthode de démonstration, contre-exemple, etc.).
EDIT : Je n'ai pas travaillé cette leçon et je viens de regarder l'intitulé précis : "Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d’une famille de vecteurs."
C'est assez bizarrement énoncé, ça semble une manière indirecte de dire : intéressez-vous aux e.v. de dimension finie, mais ça n'est pas dit comme ça !
De plus, le rang fait l'objet d'une leçon à part entière (144 : "Notion de rang en algèbre linéaire et bilinéaire. Applications."), donc on peut se demander pourquoi le coller ici également.
Bref, la leçon semble très orientée algébre, comme si l'on demandait une étude poussée du rapport entre la dimension et la "généricité", alors que, ainsi que le fait remarquer je ne sais plus quel livre, la généricité est un concept algébrique général (structure "engendrée" par une famille) tandis que la souplesse de la dimension dans les e.v. est liée à la liberté des familles de vecteurs, ce qui n'est plus le cas dans les modules (quand on remplace le corps par un anneau)... Ça ne semble donc pas très cohérent non plus de ce point de vue-là. Si l'on avait voulu insister sur la spécificité des e.v. de ce point de vue, on aurait parler de la liberté de familles génératrices.
D'ailleurs, c'est ce que semblent confirmer les derniers rapports de l'interne au sujet de cette leçon :
"2011 : Le lien entre familles génératrices et familles libres doit être évidemment abordé.
2012 : Ce sujet est réellement vaste ; il peut être avantageux de considérer les notions de famille libre et famille génératrice comme des prérequis, mais le lien entre ces notions ne peut être éludé."
Maintenant, si comme le dit la dernière phrase, le sujet est encore "réellement vaste" après avoir évacué tout ce qui concerne la généricité et la liberté séparément, c'est peut-être qu'on s'attend justement à des débordements dans les autres domaines des maths (dont l'analyse, la topologie...)... ?
Bref, c'est dur de se faire une idée à brûle-pourpoint. il faudrait que je creuse le sujet pour me faire une idée précise, notamment l'articulation entre le rang de 107 (sur les familles de vecteur) et le rang de 144 ("en algèbre linéaire et bilinéaire"). A vue de nez, on pourrait séparer tout ce qui est rang des familles de vecteurs d'un côté (en 107) et rang des objets élaborés (matrice, application) de l'autre (en 144). Il faudrait bien sûr évoquer les "objets élaborés" dans la 107 mais sans les étudier de façon systématique, et insister dans la 144 sur le fait que la notion de base est celle de rang d'une famille de vecteurs, les objets élaborés s'y rattachant dans leur construction mais l'oubliant dans la pratique, un peu comme en analyse la notion de base est celle de limite qu'on utilise pour définir la dérivée (ou la différentielle) puis qu'on oublie car on utilise le plus souvent des théorèmes qui la masque...
Au passage, la leçon 151 "Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications." de l'externe lui correspond assez bien toutefois. Ce serait pas mal de regarder dans l'abondante littérature agrégative qu'on trouve sur internet ce que les candidats ont mis dedans, pour l'inspiration, mais je suis prêt à parier qu'on y trouvera presque toujours les implications en topologie/analyse... -
Je ne sais si l'on peut/doit parler de familles libres ou liées dans cette leçon. Mais j'ai un exo à ce sujet.Soit $c\in \mathbb{R}$ et $I=[c,+\infty \lbrack $, et $ n \in \mathbb N^*$, $ m \in \mathbb N^*$.
Soient des réels $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha _{n},\beta _{1},\beta_{2},...,\beta _{m}$ tels que : $ \displaystyle \forall x\in I,\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\alpha _{k}\cos kx+\overset{m}{\underset{h=1}{\sum }}\beta _{h}\sin hx\geq 0$.
Démontrer : $\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha _{n}=\beta _{1}=\beta_{2}=...=\beta _{m}=0$.Quel rapport, direz-vous ? Eh bien, on pose : $u_{p}(x)=\cos px$, $v_{p}(x)=\sin px$, $I\rightarrow \mathbb{R}$, et on prouve que la famille $(u_{1},u_{2},...,u_{n},v_{1},v_{2},...,v_{m})$ est libre dans le $\mathbb R$-espace vectoriel $\mathbb R^I$. Il y a encore une petite chose à trouver...
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Merci pour toutes ces nouvelles idées.
@ Chaurien: les suites de Cauchy sont au programme de l'agreg donc pas de pb. -
EDIT de L'EDIT
Je viens de faire un squelette de plan en regardant ce qui se faisait à l'externe et dans quelques livres. Il se trouve que mon étonnement ("C'est assez bizarrement énoncé, ça semble une manière indirecte de dire : intéressez-vous aux e.v. de dimension finie, mais ça n'est pas dit comme ça !") ne devrait pas en être un pour ceux qui ont des souvenirs plus frais d'algèbre linéaire. En effet, dans beaucoup d'ouvrages, les e.v. de dimension finie sont précisément définis comme les e.v. admettant une partie génératrice finie...
Finalement, la leçon a simplement pour thème (principal) les e.v. de dimension finie. Et c'est vrai qu'il y a de quoi dire déjà sans même aller chercher la topologie (mais rien ne l'interdit bien sûr).
Reste cette "verrue" (rang d'une famille de vecteurs) que je ne comprends toujours pas. Si quelqu'un a des idées... :-) -
Pourquoi ce titre ? À mon avis, parce que dans une construction logique, on ne peut pas parler d'espaces de dimension finie avant d'avoir justifié la bonne définition de la dimension, et donc le fait que toutes les bases finies d'un espace finiment engendré ont le même cardinal. On construit ainsi la dimension des ev finiment engendrés (qui est un invariant total pour la relation "être isomorphes").
Pourquoi la verrue du rang ? Sans doute pour la même raison : à chaque famille finie, on peut associer un entier, qui mesure de façon équivalente son pouvoir générateur et son défaut d'indépendance linéaire. On construit ainsi le rang des familles finies (qui est un invariant total pour la relation "être équivalentes" (du point de vue des opérations élémentaires, ou des espaces engendrés)).
AMHA, il s'agit d'une leçon du type "plan d'un chapitre d'algèbre linéaire, illustré d'exemples croustillants", avec articulation des invariants "dimension" et "rang".
Par ailleurs, je pense qu'il serait nuisible de ne pas parler d'applications linéaires et des liens avec les invariants précédents (lien entre liberté et injectivité, entre caractère générateur et surjectivité... rang d'une application linéaire). -
Merci pour cette analyse.
Pour ce qui est du titre, en effet j'ai fini par comprendre, simplement comme je l'expliquais ci-dessus après voir relu la définition de la dimension... Comme quoi il n'y a pas de mystère : le cours, le cours, le cours !
L'invariance par isomorphie figure déjà dans mon plan en bonne place. De même pour un chapitre entier sur les applications linéaires et ce qui leur arrive dans le cas de la dimension finie, ce qui permet au passage de recaser le rang. Il faut insister aussi sur les sous-espaces de façon générale, et les sous-espaces en somme directe puisque ça donne une technique qui permet de faire des démonstrations par récurrence (réduction, etc.)...
Des exemples croustillants, il y en a plein avec la théorie des corps (degré d'une extension ; corps finis... Wedderburn !) et les matrices (dans Francinou/Gianella/Nicolas par exemple).
Pour le rang, je comprends bien l'idée et je vois bien le lien profond (la "symétrie") entre dimension et rang ainsi présenté.
Mais ça reste pour moi "artificiel" d'un point de vue "découpage de leçon de concours", car comme je l'ai dit, qu'il existe une leçon entière (144) consacrée au rang en algèbre (linéaire et bilinéaire). Il y a finalement peu à dire au niveau théorique sur le rang d'une famille de vecteurs si l'on ne veut pas aborder les objets complexes "rang d'une application linéaire" et "rang d'une matrice". Car si on le fait, on retombe dans la leçon 144. Et les exemples qui se bornent à faire intervenir le rang d'une famille de vecteurs sans contexte me semblent vides.
L'intérêt du rang, me semble-t-il, outre son statut d'invariant pour l'équivalence de matrices, c'est son application aux problèmes de dimension (y compris en analyse !), mais dans les deux cas, on retombe dans la leçon 144 (notamment avec le théorème du rang qui joue un rôle fondamental)... Ou bien il faut se borner à définir le rang d'une famille de vecteurs et donner quelques exemples de calcul, et ouvrir le sujet à l'oral pour citer l'utilisation du rang - et bien sûr être prêt à répondre aux questions du jury, ce qui veut dire avoir bien travaillé la leçon 144... -
Lu dans un recueil de plans de leçons pour l'externe :Le jury accepte que soit proposé en développement le traitement précis de points du cours, par exemple on peut proposer "Théorème de la dimension + base incomplète + dimension d’un sous-espace". Ne proposer que le théorème de la base incomplète, ou le théorème du rang(*), n’est pas suffisant au niveau de l’Agrégation.
Il ne devrait donc pas y avoir de souci non plus pour l'interne pour les candidats qui ne veulent pas trop s'éloigner du cours, et à condition je pense de tenir au moins les 15 minutes...
(*) A l'externe, le rang (sans précision sur quoi on définit la notion) fait partie intégrante du titre de la leçon, d'où cette mention du théorème du rang ici. -
La définition via la phrase "qui possède une famille génératrice finie" a plusieurs avantages sur une définition du type "qui possède une base de cardinal fini" :
- Il faut définir les bases, comme cela a été dit plus haut, puis prouver l'isomorphisme entre les deux bases (enfin les sous-espaces engendrés par les vecteurs de la base)
- Il y a comme un pré-requis que tous les e.v possèdent une base (enfin, quid des espaces vectoriels ne possédant éventuellement pas de base, sont-ils de dimension finie si on a accès à une autre définition de la dimension que via le cardinal d'une base ?) ... Ce qui n'a rien d'évident a priori, et nécessite justement l'axiome du choix en "dimension" infinie, c'est-à-dire quand il n'y a _pas_ de famille génératrice finie, ce qu'on ne sait pas a priori à ce stade du cours. -
Bonjour,
Je relance un peu le sujet sur cette leçon dont je trouve les démonstrations importantes un peu légères pour l'agrégation. Je pensais parler des familles de polynômes (Legendre, Tchebychev, Bernstein…) qui peuvent fournir des développements intéressants. Je pensais en particulier aux polynômes de Hilbert (voir pièce jointe si le lien ne fonctionne pas).
http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/Polynomes-hilbert.pdf
Cela permet de parler base et changement de base et de l'intérêt de ce changement de bases. En application, on peut calculer la sommes de n^k pour k=4 par exemple. Cela permet d'utiliser la division euclidienne de polynômes (je pense que cela s'y prête mieux dans cette leçon) ou les matrices pour obtenir les coordonnées du polynôme X^k dans la base (H_0,…H_k) et arriver au résultat.
Le problème, c'est de trouver une référence dispo à l'agrégation pour tout remettre en forme le jour J. Si vous avez un bouquin où vous avez vu passer ce résultat, je serais vraiment ravi (j'ai cherché dans ma bibliothèque ainsi que dans les références dispo sur internet de l'agrégation mais je n'ai pas trouvé).
Merci d'avance,
Benjamin.
PS : j'ai déjà recherché dans les bouquins de Caldero (Carnet de voyage en Analystan et Carnet de voyage en Algébrie).
Edit : à rapprocher peut-être de ce document :
https://www.lecons-de-maths.fr/documents/lycee/sommes_puissances_entiers-couleur.pdf
Edit 2 : je viens de me plonger dans ce développement. Cela passe plutôt bien mais il faut être très l'aise en calcul mental. Le fait que l'on ne soit pas vraiment en dimension finie (même si on peut -arbitrairement- se placer sur les polynômes de degré inférieurs à m+1 me gêne un peu aux entournures. -
Bonjour,
Pour les polynômes de Hilbert je n'ai malheureusement pas de référence, dans les FGN peut être ?
Ça me rappelle le sujet de l'externe de cette année.
Pour la leçon 107, personnellement je pense proposer l'existence de base orthogonale pour une forme quadratique dans un e.v.de dimension fini (reccurence sur la dimension) et la loi d'inertie de Sylvester (on manipule base et dimension pour obtenir un invariant sur les formes quadratiques). Ça manque peut être un peu de consistance, mais je pense que bien exposé, en explicitant tout les passages faisant intervenir les résultats de la leçon, on peut joliment mettre en avant la richesse de la notion de dimension.
Bastien.
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