Une partie entière et 2013

Cidrolin
Cidrolin
dans Arithmétique
Pouvez-vous dire ce qu'ont de particulier les nombres $$ E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$$ où $n$ décrit $\N^*$ ?

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    En Python 3, le code ci-dessous donne la réponse :
    def f(n):
  return int((20130000*n-2013.5)/20129999)

n=1
p=f(n)
s=f(n+1)

while s==p+1:
  p=s
  n+=1
  s=f(n+1)

print(n)

    Essayez ici.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • JLT
    JLT
    Les nombres 2013 et 20132013 ne sont pas dans l'image de la suite.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Si on désigne par $A$ l'ensemble des nombres dont l'écriture décimale se termine par $2013$,

    et par $B$ l'ensemble des multiples de $2013$, alors l'image de la suite est $\bar A \cup \bar B$.
  • gui513
    gui513
    Comment le prouver ?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bonjour,

    Essayez de montrer, dans un premier temps, que les $E \Big( \dfrac {49n-6}{42}\Big)$,

    pour $n \geq 1$ sont exactement les non multiples de $7$.
  • Yalcin
    Yalcin
    Bonjour Cidrolin,

    On peut peut-être montrer que $$E \Big( \dfrac{20130000n-2013,5}{20129999}\Big)=n-1_{[|1,2013|]}(n)$$.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Non Yalcin, je ne pense pas.

    Cordialement

    E. C.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bonjour,

    Si $u_n=E \Big( \dfrac {20130000n-2013,5}{20129999}\Big)$, alors $u_n=n+E \Big( \dfrac {n-2013,5}{20129999}\Big)$

    Soit encore $u_n=n+E \Big( f(n) \Big)$ avec $f(n)=\dfrac{n-2013,5}{20129999}$

    La fonction $f$ est strictement croissante et ne prend jamais de valeur entière,

    on peut utiliser le théorème de Lambek et Moser http://en.wikipedia.org/wiki/Lambek-Moser_theorem

    On trouve $f^{-1}(n)=20129999n+2013,5$.

    La suite complémentaire de $\Big( u_n \Big)$ est définie par $v_n=n + E \Big( f^{-1}(n) \Big)$

    Donc $v_n=n + E \Big( 20129999n+2013,5 \Big)=20130000n+2013$.

    L'image de $v_n$ est l'ensemble des mutiples de $2013$ qui se terminent par $2013$

    L'image de $u_n$ est l'ensemble des nombres qui sont non mutiples de $2013$ ou qui ne se terminent pas par $2013$
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