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Conjecture de Sierpinski

blaaangblaaang
dans Arithmétique
C'est peut-être trivial mais peut-on affirmer que pour tout entier $n>1$, il existe $4$ entiers $a>0$, $b>0$, $c>0$ et $d>0$ tels que :
$\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ $\; \; \;$ ?

(C'est une version affaiblie de La Conjecture de Sierpinski.)

Réponses

  • gai requingai requin
    Si $n=5n'$, $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}$ : OK

    Si $n$ est pair, $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{\frac{n}{2}}$ : OK

    Reste à voir les autres cas...
  • yoyodadayoyodada
    Bonsoir,

    Pour $n=3k$, on a

    $\frac{5}{3k}=\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k}$
  • blaaangblaaang
    Avec des outils élémentaires, on peut prouver que la conjecture de Sierpinski est vraie pour $n \not \equiv 1 [278460]$ (voir le bouquin de R.K.Guy ou dans cet article pour une démonstration dans le cas où $n \not \equiv 1 [1260]$).
    Noter que si $n$ vérifie la conjecture de Sierpinski alors n'importe quel multiple de $n$ également (il suffit donc de la prouver pour les entiers premiers).

    Pour l'instant, je n'ai pas beaucoup d'autres arguments à avancer quant à ma question initiale :-(
  • gai requingai requin
    Pour la question initiale, notons $n=5n'+r$ avec $r \in \left\{0,1,2,3,4 \right\}$.

    Alors $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{n'+1}+\frac{5-r}{n(n'+1)}$.

    Ta conjecture est donc prouvée pour $n \not \equiv 1 [5]$...
  • blaaangblaaang
    Relis ce que j'ai écrit plus haut et va jeter un oeil sur l'article en référence (d'un niveau élémentaire), la conjecture y est prouvée pour $n \not \equiv 1 [1260]$, donc en particulier pour $n \not \equiv 1 [5]$.
  • christophe cchristophe c
    euuu, j'ai cliqué, mais je suppose que si la conjecture de S a cette forme faible c'est que la conjecture suivante est fausse:

    (1)tout rationnel (positif) s'écrit comme somme de fractions dont le numérateur est 1?

    Ou peut-être la suivante, plus forte, est-elle fausse, et ce serait elle qui compterait sentimentalement:

    (2)Il existe un entier n tel que tout rationnel positif s'écrit comme une somme d'au plus n fractions dont le numérateur est 1?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • blaaangblaaang
    (1) $\displaystyle \frac{p}{q}=\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{q}$ :)

    (2) $n \in \N^*$ ne peut pas s'écrire comme une somme de moins de $n$ fractions unitaires...
  • christophe cchristophe c
    Merci et bravo!!!!! :)-D

    (ce qui montre que toutes les questions ne sont pas forcément difficiles :D )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • blaaangblaaang
    Après avoir posé la question à quelques spécialistes, il semble que cette version affaiblie de la Conjecture de Sierpinski constitue également un problème ouvert, sans doute délicat.

    En cherchant un peu, je me suis rendu compte que pour prouver que $\frac{5}{5n+1}$ (le seul cas non trivial) se décompose en une somme de quatre fractions égyptiennes, il suffisait d'exhiber quatre entiers strictement positifs $a$, $b$, $c$ et $d$ tels qu'on ait simultanément :

    $5a-1 \; | \; n+a+b$ ,
    $b \; | \; c+d$ ,
    $cd \; | \; n+a$ .

    Le cas où $n$ est impair ne pose aucun problème $($choisir $(a,b,c,d)=(1;2;1;1)$ [resp. $(1;4;2;2)$] si $n$ est congru à $1$ [resp. $3$] modulo $4)$.
    Grâce à un programme informatique, j'ai vérifié que ceci est également vrai pour tous les entiers pairs $n \leqslant 3 \times 10^6$ et qu'à chaque fois, on peut choisir $a$ dans $\{1;2;3;4\}$ !

    Je sais également montrer la chose pour $n$ appartenant à des tas de classes de congruences particulières... Mais je n'ai pas le début d'une piste vers une démonstration pour le cas général.
  • gai requingai requin
    Welcome back blaaang.
    Que représentent $a,b,c$ et $d$ dans ton dernier post ?
  • blaaangblaaang
    Si $a$, $b$, $c$ et $d$ vérifient les conditions précédentes, alors :

    $$\frac{5}{5n+1}=\frac{1}{v(5n+1)}+\frac{1}{utcv(5n+1)}+\frac{1}{utdv(5n+1)}+\frac{1}{n+a}$$

    avec $v=\frac{n+a+b}{5a-1}$ ; $u=\frac{c+d}{b}$ et $t=\frac{n+a}{cd}$ .
  • gai requingai requin
    Supposons que $n=5n'+1$ avec $n' \ge 1$.

    Si on arrive à prouver qu'il existe $a \ge 1$ tel que soit $5a-1$, soit $5a-2$, soit $5a-3$ divise $n(n'+a)$, alors c'est gagné car :

    $$\frac{5}{n}=\frac{1}{n'+a}+\frac{5a-1}{n(n'+a)}$$.

    Exemples : pour $n=1261$, on peut choisir $a=3$ pour en déduire que :

    $$\frac{5}{1261}=\frac{1}{255}+\frac{1}{321555}+\frac{1}{24735}$$.

    Pour $n=278461$ (encore plus spectaculaire), on peut choisir $a=5$ et on trouve :

    $$\frac{5}{278461}=\frac{1}{55697}+\frac{1}{15509442317}+\frac{1}{674323579}$$.
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