2^n = p+3^p

Bonsoir,

dans un premier temps un raisonnement de parité montre que cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}\times 2\mathbb{N} - \{ 0,0\} $.

Puis, en remplaçant $p$ par $2k+1$ pour $k$ entier naturel, je crois prouver à l'aide de congruences que $p+3^p$ n'est jamais un multiple de $8$ (je détaillerai au besoin) : en fait il serait toujours congru à $4$ modulo $8$. Il nous reste alors le cas $n=1$ qui s'écarte instantanément.

Ok, on oublie la deuxième moitié alors ^^. Je sais pas comment tu fais JLT, moi j'ai toujours envie de rajouter des mots à mes formules, c'est plus fort que moi ^^.

Je ne sais pas si ça peut aider mais voilà :

1 - il est claire que n>p puisque 2ⁿ - 3^p = p > 0

2 - aussi il existe un entier k tel que n=p+k

3 - on a alors l'équation : 2^k.2^p=p+3^p

4 - sachant p impair (c'est facile à voir), est ce qu'il existe un entier p tel que 0=p+3^p mod 2^p ?

pour p = 5, ça ne fonctionne pas ce que tu me dis.

2⁵ = 32
5+3⁵ = 248

248/32 = 7,75

D'où provient cette question gdlrdc ?

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Notons $\nu_2(N)$ l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de $N$.

Soit les suites d'entiers naturels $r$ et $\mu$ définies de la manière suivante :
$r_0=0$ et $\forall k \in \mathbb{N}$, $r_{k+1}=r_k+2^{\mu_k}$ avec $\mu_k=\nu_2 \left( r_k+ 3^{r_k} \right)$.

On a : $(\mu_0;r_0)=(0;0)$, $(\mu_1;r_1)=(2;1)$, $(\mu_2;r_2)=(3;5)$, $(\mu_3;r_3)=(5;13)$, $(\mu_4;r_4)=(7;45)$, $(\mu_5;r_5)=(9;173)$, $(\mu_6;r_6)=(13;685)$ etc.

Tout ce que je parviens à montrer pour l'instant :

$\bullet$ $\mu$ est strictement croissante (ce qui entraîne que $\displaystyle \limsup_{p \rightarrow +\infty}\, \nu_2 \left( p+3^p\right)=+\infty$).
$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ et $k$ est l'entier tel que $\mu_{k-1} <n \leq \mu_k$ alors: $2^n | p+3^p$ $\Leftrightarrow$ $p \equiv r_k \; \left[ 2^n\right]$.
$\bullet$ Si $2^n=p+3^p$, alors il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $(n;p)=(\mu_k;r_k)$.

gdlrdc>
D'accord mais sais-tu d'où l'exercice est tiré ?

mamane>

Lorsque $p$ n'est pas premier, il n'est pas certain que $3^p-2^p \equiv 1 \; [p]$.

D'autre part, lorsque $p>3$ est premier tel que $2^n=p+3^p$, le fait que $3^p-2^p \equiv 1 \; [p]$ (noter que $n>p$) entraîne seulement que $2^n-2^p \equiv 1 \; [p]$.

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par les congruences je ne vois pas de solution, car même en utilisant les entiers P congrus5[8], on obtient pas deux suites avec une particularité bien précise est "linéaire".
la suite des différences entre $n$ consécutif, et $p$ impair consécutif, et très intéressante, puisque l'on obtient pour le premier triplet de valeur possible, avec n = 5; p=3,
1) n - p = 2,3,4,
2) n - p = 3,4,5,6 ; P = 5
3) n - p = ,5,6,7 ; P = 7
4) n - p = 6,7,8 ; p = 9
5) n - p = 7,8 ,9 ; p = 11
6) n - p = 8,9,10 ; p = 13
etc...etc
la suite engendrait par p diverge par rapport à la suite n, "peut être qu'une récurrence sur ces différences serait faisable"
la seule possibilité d'une solution possible, est uniquement au changement de la valeur de p.

ce qui indique, qu'il y a qu'une possibilité sur 3 et le fait que P soit congru 5[8], n'apporte effectivement rien de plus.
cela indique aussi, que la différence d ("deuxième niveau"), des différences de:
2ⁿ - (p + 3^p), engendre la suite 2ⁿ = d;
à partir de d = 32 = 2⁵ et où p = 3, ce qui va donner:

d = 32,64, -90, 256, 512, 1024, 102,4096, 8192, -1114,32768,65536,-28394,
262144,524288,-368602,2097152,4194304, -4365978,2²⁴,2²⁵,
-47682394, 2²⁷,2²⁸....etc etc

si il existe une solution, alors les deux suites de différences premier niveau et deuxième niveau converge l'une vers l'autre à un point x ou il y a le 0....

-Je cherche une famille de premiers $q$ vérifiant $p+3^p\equiv 0 \pmod q$

Si tu cherches les nombres premiers $q$ divisant un des $p+3^p$, la réponse est : tous ! Pense au petit théorème de Fermat.

Je ne prétends pas avoir trouvé un entier non nul divisible par tous les nombres premiers

Je dis simplement que si $q$ est premier alors il existe un $p \in \mathbb{N}$ tel que $q \; | \; p+3^p$.

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Soit $p\geqslant 3$ un entier impair et $n$ un entier naturel tel que $2^n=p+3^p$.
On connaît donc $n+1$ diviseurs distincts de $p+3^p$, à savoir $1,2,...,2^n$.
Comme $n>p$, on peut donc trouver des entiers $r<q$ pour lesquels
$2^r(p+3^p) \equiv 2^q(p+3^p) \pmod p$ .
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, $p+3^p \equiv 0 \pmod p$ et donc $p$ divise $2^n$ ce qui est impossible.

Attention, dans cette équation, $p$ n'est pas nécessairement premier donc il faut vraiment utiliser le principe des tiroirs pour trouver $r<q$ avec
$2^r(p+3^p) \equiv 2^q(p+3^p) \pmod p$ .

Pour le reste, tu as raison : rien n'empêche $p$ de diviser $2^q-2^r$...

Je vais essayer de compléter ma preuve :S

On a donc $r<q$ avec $(2^q-2^r)(p+3^p) \equiv 0 \pmod p$ .
Soit alors $d= \mathrm{pgcd} (2^q-2^r,p)$.
On a $\dfrac{2^q-2^r}{d}(p+3^p)\equiv 0 \pmod{\dfrac{p}{d}}$.
D'après le théorème de Gauss , $\dfrac{p}{d}$ divise $p+3^p=2^n$.
Comme $\dfrac{p}{d}$ est impair, $p=d$ donc $p$ divise $2^q-2^r$.
En particulier, $q-r$ est un multiple de l'ordre de $2$ dans $ \left (\dfrac{\mathbb{Z}}{p \mathbb{Z}} \right )^*$.

Une idée pour trouver une contradiction ???