a!b! = c!

Michiel Vermeulen
Michiel Vermeulen
dans Arithmétique
Bonjour,

On a : 6!7!=10!
Soient maintenant a, b et c des nombres naturels.
Y-a-t-il d'autres solutions non triviales pour a!b!=c! (i.e. avec a,b,c > 1)
Merci !

Michiel

Réponses

  • Eric
    Eric
    Le cas particulier $n!(n-1)!=m!$ est traité dans R. Honsberger, Mathematical gems III, MAA, 1985, avec une solution utilisant deux fois le postulat de Bertrand. A l'arrivée, la seule solution non-triviale pour ce cas particulier est celle que tu donnes : $6!7!=10!$.
  • Michiel Vermeulen
    Michiel Vermeulen
    Excusez-moi,

    Il faut aussi exclure des solutions triviales du type:

    (k+1)k! =(k+1)!

    Avec k+1=m!, pour certaine m.


    Michiel
  • bs
    bs
    Bonjour les biloutes, ;)

    F.Le Lionnais dans Les nombres remarquables écrit que le seul entier connu n qui soit une solution non triviale de n!=a!b! est 10 avec 10!=7!6!

    les solutions triviales sont de la forme (k!)!=(k!-1)!k!, et aussi,
    n!=0!n! et n!=1!n! ( ça c'est moi ! )

    Pour n!=a!b!c! deux solutions connues:
    10!=7!5!3! et 16!=14!5!2!

    et pour n!=a!b!c!d! , une seule solution connue pour n<410:
    9!=7!3!3!2!

    Bonne journée.

    [erreurs corrigées suite remarques de Michel que je remercie]
  • Michiel Vermeulen
    Michiel Vermeulen
    Merci Eric et bs,


    bs: je pense que 16!=14!5!3! et 9!=7!3!2! ne sont pas correctes.


    Michiel
  • t-mousss
    t-mousss
    5!3!=720=15*16*3 donc effectivement je pense que c'est plutot 16!=14!5!2!

    9*8=72 et 3!2!=12 et là je ne vois pas comment s'en sortir

    t-mouss
  • Sylvain
    Sylvain
    Bonjour,

    bs, ça veut dire quoi biloute ?
  • Pierre
    Pierre
    Salut à tous

    pour Sylvain, c'est un peu à la mode en ce moment grâce au film de Dany Boon "Bienvenue chez les Ch'tis". C'est un terme très affectueux qui signifie "petite quéquette" en ch'ti !!Et si t'as un peu de temps, vas voir le film, on rigole bien !
  • Koniev
    Koniev
    Bonjour
    Auteur d'un dictionnaire de 1500 mots patois du village de mes ancêtres je me suis aperçu que patois et argot se ressemblaient beaucoup et je me suis intéressé aux argots. Biroute désigne le pénis en argot et des objets gonflés comme la manche à air des terrains d'aviation.Pierre Perret le mentionne et le dict de l'argot de Colin-Mével-Leclère chez Larousse, plus complet, indique que Vidocq donne bilou pour la vulve. Alors l'origine est-elle bilou ou biroute ? Biloute peut venir de biroute, le patois modifie parfois le mot pour lui donner un son plus compatible avec sa sonorité spécifique.
    Cordialement
    koniev
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