bizarrerie arithmétique ?
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
J'ai découvert par hasard une propriété particulière de la fonction suivante qui va de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^2$ dans lui-même :
$$f: (i,j) \mapsto \left( 3 \left\lceil \frac{i}{3} \right\rceil + \left\lceil \frac{j}{3} \right\rceil -3 \, , \, 3i+j-9 \left\lceil \frac{i}{3} \right\rceil - 3\left\lceil \frac{j}{3} \right\rceil +9\right)$$
1) Saurez-vous découvrir quelle propriété ? (si ce n'est pas le cas, je ne vous ferai pas languir longtemps)
2) Saurez-vous le démontrer autrement que de manière exhaustive (je ne sais pas le faire mais ça m'intéresserait drôlement).
Je vous expliquerai plus tard comment j'ai fabriqué cette fonction pour ne pas influencer vos réponses.
J'ai découvert par hasard une propriété particulière de la fonction suivante qui va de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^2$ dans lui-même :
$$f: (i,j) \mapsto \left( 3 \left\lceil \frac{i}{3} \right\rceil + \left\lceil \frac{j}{3} \right\rceil -3 \, , \, 3i+j-9 \left\lceil \frac{i}{3} \right\rceil - 3\left\lceil \frac{j}{3} \right\rceil +9\right)$$
1) Saurez-vous découvrir quelle propriété ? (si ce n'est pas le cas, je ne vous ferai pas languir longtemps)
2) Saurez-vous le démontrer autrement que de manière exhaustive (je ne sais pas le faire mais ça m'intéresserait drôlement).
Je vous expliquerai plus tard comment j'ai fabriqué cette fonction pour ne pas influencer vos réponses.
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Réponses
Si les crochets représentent la partie entière, j'ai bien peur que la fonction f ne soit pas à valeur dans $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ puisque dans ce cas f(1,2)=(-3;14).
Ai-je mal lu ou est-ce que je suis complètement à côté de la plaque ?
Pierre
Ca ne paraît pas bizarre en soi, mais quand je vous aurai dit comment j'ai obtenu $f$, cela le deviendra...
[La case, Bisam (:P). Bruno]
J'ai obtenu cette fonction en pensant à un changement de coordonnées dans les grilles de sudoku. Cette fonction est censée transformer les numéros de ligne et de colonne (i,j) en les numéros de blocs et de case dans le bloc (en les numérotant de 1à 9 de gauche à droite puis de haut en bas).
Il se trouve qu'en écrivant cette fonction je me suis dit : c'est une permutation de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^2$ donc elle est au maximum d'ordre $81$... Quel peut bien être son ordre ?
J'ai fait des essais numériques et j'ai constaté qu'elle était d'ordre $2$ autrement dit qu'elle était sa propre réciproque.
N'y croyant pas, j'ai fait les mêmes essais sur une grille et j'ai reconstaté la même chose !
Maintenant, si quelqu'un a une explication, je suis preneur... (Peut-être un lien avec le produit de Kronecker ?)
(nb : ça fait trois fois que j'essaie de joindre à mon message ce joli tableau de valeurs, mais ça ne passe pas, donc je renonce...)
[En quel format est-il ? Si exotic, le mettre dans un zip, c'est accepté sur le forum. AD]
\lien{http://www.academie-francaise.fr/langue/questions.html#au_temps}
Au temps pour moi
Il est impossible de savoir précisément quand et comment est apparue l’expression familière au temps pour moi, issue du langage militaire, où au temps ! se dit pour commander la reprise d’un mouvement depuis le début (au temps pour les crosses, etc.). De ce sens de C’est à reprendre, on a pu glisser à l’emploi figuré. On dit Au temps pour moi pour admettre son erreur — et concéder que l’on va reprendre ou reconsidérer les choses depuis leur début.
L’origine de cette expression n’étant plus comprise, la graphie Autant pour moi est courante aujourd’hui, mais rien ne la justifie.
Donc je maintiens mon précédent post : "Au temps pour moi !!"
[Activation du lien. AD]
Ce bon Gilles est fort taquin et fait entendre le droit des minorités à écrire "autant pour moi" comme ellipse de "c'est autant pour moi"...
Cette querelle de byzantins (cf <http://www.langue-fr.net/index/A/au_temps-autant.htm> ) revient périodiquement sur le forum.
Je ne vois pas bien ce qui te surprend ?
La manière dont tu as construit ta fonction, chaque paquet de 3 cases en ligne est remplacé par un autre paquet de 3 cases en ligne, les paquets s'interchangeant l'un l'autre (voir les paquets jaunes ci-dessous). Il s'agit de transpositions par groupe de 3 cases en ligne (dans certain cas, identité, si les 3 cases ne sont pas changées).
Ta permutation de $\frak S_{81}$ est donc la composée de transpositions à support disjoint, donc d'ordre 2.
Alain
Avec Excel (mais j'aurais pu prendre OpenOffice)
Chaque case est en fait 2 cases côte à côte,
l'une pour la 1ère coordonnée, contenant la formule =3*PLAFOND(1/3*$A2;1)+PLAFOND(1/3*B$1;1)-3
l'autre pour la 2ème coordonnée et contenant : =3*$A2+B$1-9*PLAFOND(1/3*$A2;1)-3*PLAFOND(1/3*B$1;1)+9
et j'ai reproduit (copier / coller la formule) ces formules sur toutes les paires de cases du tableau.
Alain
J'appelle coordonnées "par bloc" les coordonnées obtenues par ma fonction au vu de l'explication donnée plus haut.
Ne trouves-tu pas étonnant que si la case de coordonnées cartésiennes (i,j) a pour coordonnées par bloc (k,l) alors la case de coordonnées cartésiennes (k,l) a pour coordonnées par bloc (i,j) ?
Personnellement, cela m'a surpris... mais en même temps, ça m'arrange, cela évite d'avoir à faire une fonction inverse !