Groupe cyclique / générateur / ordre

Bonjour.

1/ Il y a une étoile après la virgule... je ne sais pas très bien ce que tu as voulu écrire. Mais $\Z/n\Z$ a effectivement $\varphi(n)$ générateurs (ce sont les $\overline{k}$ pour $k\in\{0,\cdots,n-1\}$ premier avec $n$).
2/ C'est même équivalent : un groupe d'ordre $n$ est cyclique si et seulement s'il admet un générateur d'ordre $n$.

1) tout depend de ce que tu appelle un multiple... si $a$ est un generateur, $3\times 3^{-1} \times a$ est aussi un generateur, pourtant c'est un "multiple" de 3. si par contre tu veux parler d'une puissance de 3, alors oui, tu as raison, ses puissances ne peuvent pas etre des generateurs.

2)ben par definition, si tu trouve un element qui engendre le groupe tout entier.. alors le groupe est cyclique (monogene, en fait, mais dans le cas fini cyclique..). mais ta formulation est ambigüe, car si un groupe n'est pas cyclique mais engendré par $\{a,b\}$ on dira aussi que $a$ est un generateur... donc si la question est "si on trouve un element qui engendre le groupe, alors est ce que c'est cylique", la reponse est oui, par definition.

Pour compléter l'explication de jobhertz : on note $\mathrm{Aut} \, G$ l'ensemble des morphismes bijectifs $f \, : \, G \to G$, appelés {\bf automorphismes} de $G$. On vérifie qu'il s'agit d'un groupe pour la composition, par exemple en vérifiant que c'est un sous-groupe de $(\mathfrak{S}_G,\circ)$ le groupe des applications bijectives de $G$ dans lui-même (je t'invite à le faire).

Dans le cas où un groupe $G$ est cyclique, on simplement monogène, on peut fixer un générateur $a$ de $G$. Alors un morphisme de groupes $f \, : \, G \to H$ est entièrement déterminé par l'image $f(a)$ de notre générateur. En effet pour tout $x \in G$ on peut écrire $x=a^k$ et donc $f(x)=f(a^k)=f(a)^k$ puisque $f$ est un morphisme.

Il est facile de voir que dans le cas $H=G=\Z/n\Z$, un morphisme $f \, : \, G \to G$ est bijectif si et seulement l'image d'un générateur est encore un générateur (je t'invite à le faire). Donc un automorphisme est déterminé par le choix du générateur $b$ sur lequel il envoie $a$. Tu peux vérifier que l'on détermine ainsi une bijection $\Phi_a$ de l'ensemble des automorphismes de $G$ dans l'ensemble des générateurs de $G$, par $\Phi_a(f)=f(a)$ (je t'invite à le faire).

Lorsque $\mathrm{Aut} \, G$ est muni de sa structure de groupe pour la loi $\circ$ et lorsque l'ensemble des générateurs de $G=\Z/n\Z$, qui est exactement $(\Z/n\Z)^{\times}$, est muni de sa structure de groupe pour la loi $\times$, alors on peut voir que $\Phi_a$ est carrément un morphisme de groupe, i.e. $\Phi_a(g \circ f)=\Phi_a(g) \times \Phi_a(f)$ (je rappelle si besoin est que que $\Phi_a \, : \, (\mathrm{Aut} \, G, \circ) \to ((\Z/n\Z)^{\times},\times)$). Comme il est bijectif c'est un {\bf isomorphisme} de groupes, donc on a montré que $\mathrm{Aut} \, G$ et $(\Z/n\Z)^{\times}$ sont isomorphes, ce qui signifie en gros qu'il "fonctionnent" pareil ; même caractéristques (cycliques ou non, abéliens ou non), même nombre d'élement d'un ordre donné, de sous-groupes d'ordre donné, etc.

Je déterre ce cadavre exquis.

De quelle forme sont les automorphismes de $\Z/n\Z$ svp ? j'en déduis qu'il y en a $\phi(n)$ ?

@grenouille ! : merci pour ta réponse , mais je suis un peu perplexe: dans le fil les gens ont écrit : $(\Z/n\Z)^\times \simeq Aut(\Z/n\Z)$

et toi tu as écrit quelque chose de légèrement différent :$(\Z/n\Z)^\times = Aut(\Z/n\Z)$ :-S

@Poirot : ok c'est bien ce que je craignais :-D

En fait j'ai essayé de comprendre la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique#Endomorphisme

mais je ne comprends pas la construction des automorphismes $x \mapsto x^p$ : pour moi ils sont surjectifs et pas bijectifs :-S

@Poirot : euh non mais là mon souci c'est que j'ai 2 antécédents distincts qui ont la même image...si on considère $(\Z/7\Z)^\times =\{1;2;3;4;5.6\}$. Soit $f(x) =x^p$ $(\Z/7\Z) \rightarrow (\Z/7\Z)$
Si on prend $p=6$ , alors $2^6=3^6=1$ (dans $(\Z/7\Z)$).

Donc $f(2)=f(3) $ donc ce n'est pas une bijection ? où est mon erreur ?

@MathCoss: ah ok je vois...mais alors peux-tu m'indiquer pourquoi sur la page Wikipedia il est indiqué $x^p$ plutôt que $p*x$ ? C'est source de méprise :-S

Ah oui tu dis ça parce $(\Z/n\Z)$ est isomorphe à $(U_n, \times)$ ?

Encore une question : toujours à la même page , il est dit que "ces automorphismes forment un sous-groupe du groupe symétrique " .

Pourquoi le groupe des automorphismes n'est pas exactement le groupe symétrique ?

Parce qu'une permutation n'est pas forcément un morphisme de groupe : exemple avec la transposition $(1~n)$ qui n'envoie pas $n$ (qui vaut $0$ dans $\Z/n\Z$) sur $0$.

Parce qu’un morphisme de groupes envoie le neutre sur le neutre.