Congruences
dans Arithmétique
Exercice 3.
Montrer que quel que soit k de IN : 5(puissance 5k+1)+4(puissance 5k+2)+3(puissance5k) est divisible par 11.
Exercice 4.
Démontrer que 3(puissance 105)+4(puissance105) est divisible par 13, 49, 181, et 379, mais n'est pas divisible par 5 ni 11.
Montrer que quel que soit k de IN : 5(puissance 5k+1)+4(puissance 5k+2)+3(puissance5k) est divisible par 11.
Exercice 4.
Démontrer que 3(puissance 105)+4(puissance105) est divisible par 13, 49, 181, et 379, mais n'est pas divisible par 5 ni 11.
Réponses
-
Bonjour,
Pour tout $k$ entier, $N_k = 5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} = 5.(5^5)^k + 4^2.(4^5)^k + 1.(3^5)^k =\\=
5.(3125)^k+16.(1024)^k+1.(243)^k = 5.(11.284+1)^k+4^2.(11.93+1)^k+1.(11.22+1)^k$
et tu termines... -
Exercice 3 :
Quel que soit l’entier naturel $k$, $5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$ est divisible par $11$
Qu’as-tu fait ?
Édit : oups, Yves, je n’avais pas vu… -
Bonsoir,
La méthode d'YvesM - que je salue- fonctionne bien entendu.
Mais je pense que l'idée de l'exo 3 est d'entraîner aux congruences.
L'élève doit remarquer que $p:=11$ est premier, utiliser le petit théorème de Fermat pour en déduire que $x^{10}=1 [11]$ si $11$ ne divise pas $x$, puis en déduire qu'en ce cas $x^5 \in \{ -1,+1 \}$.
Il traite alors aisément le cas $k$ pair puis réfléchit pour l'autre cas.
Cordialement
Paul -
Justement, depasse, je suis du même avis et je suis quasiment certain qu’on attend plutôt qu’on calcule les puissances successives de 5 modulo 11 pour trouver que dans ce cas ($5k+1$), ça donne 5. Puis avec les puissances de 4, ça donne encore 5. Enfin, avec les puissances de 3, ça donne 1.
On à bientôt notre 11.
C’est le début des séances congruences. Avec les théorèmes élémentaires (mais tellement essentiels et « magiques » !).
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Bonjour!
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