Polynômes à coefficients entiers

Sachaben · November 2021

Bonjour à tous.
J’ai un exercice où on me demande de trouver un polynôme à coefficients entiers, non nul, ayant pour racines: racine (2), racine(2)+ racine (3), racine(2)+ racine (3)+ racine (6).
Je vois bien que ces 3 vecteurs sont libres mais je n’ai pas la méthode.
L’un d’entre vous peut m’aider?
Merci d’avance

Kolakoski · November 2021

$\sqrt{2}$ est racine de $X^2-2$, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est racine de $X^4-10X^2+1$ et $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ est racine de $X^4-22X^2-48X-23$. Le produit des trois polynômes est donc à coefficients entiers et a les bonnes racines (rien n'assure la minimalité du degré par contre).

Poirot · November 2021

Un exemple : $$(X-\sqrt 2)(X+\sqrt 2)\prod_{\epsilon_1, \epsilon_2 \in \{-1, 1\}} (X+\epsilon_1\sqrt 2 + \epsilon_2 \sqrt 3) \prod_{\delta_1, \delta_2 \in \{-1, 1\}} (X+\delta_1\sqrt 2 + \delta_2 \sqrt 3 - \delta_1 \delta_2 \sqrt 6).$$

Reste à justifier pourquoi il est bien à coefficients entiers, ça va dépendre de tes connaissances !

gai requin · November 2021

@Poirot : $\delta_3=-\delta_1\delta_2$.

@Kolakoski : Tu as trouvé le polynôme de degré minimal !

Poirot · November 2021

Je dirais plutôt que $\delta_3=\delta_1 \delta_2$.

gai requin · November 2021

Avec tes notations, $\sqrt 2\mapsto -\delta_1\sqrt 2$, $\sqrt 3\mapsto -\delta_2\sqrt 3$ donc $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 6\mapsto -\delta_1\sqrt2-\delta_2\sqrt 3+\delta_1\delta_2\sqrt 6$.
Le facteur correspondant à ce conjugué est $X+\delta_1\sqrt 2+\delta_2\sqrt3-\delta_1\delta_2\sqrt 6$.

Poirot · November 2021

Effectivement !

Sachaben · November 2021

Merci à tous pour votre aide.
Il n’y a pas d’autres méthodes pour les deux polynômes de degré 4 que de tester les possibilités de polynômes de degré 1, 2 , 3, 4 en utilisant le fait que 1, racine 2, racine 3, racine 6 est libre et de montrer que le degré minimal qui
Convient est 4?

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