Propriété de la fonction nombre de diviseurs

Tout d'abord, $\tau(n)$ est pair sauf si $n$ est un carré parfait ce qui peut se voir en considérant l'involution $d\mapsto n/d$ de l'ensemble des diviseurs de $n$.

Ainsi, si $p$ est un nombre premier, $(-1)^{\tau(pk)}$ vaut $-1$ si $n$ est de la forme $p\ell^2$ et $1$ sinon. On en déduit que $Z_p(n)=n-2\lfloor\sqrt{\frac{n}{p}}\rfloor$. Si $p+2$ est aussi premier on a donc aussi $Z_{p+2}(n)=n-2\lfloor\sqrt{\frac{n}{p+2}}\rfloor$ et l'inégalité $Z_{p+2}(n>Z_p(n)$ est équivalente à $\lfloor\sqrt{\frac{n}{p}}\rfloor> \lfloor\sqrt{\frac{n}{p+2}}\rfloor$ ou encore à l'existence d'un entier $k$ tel que $\frac{n}{p}\geqslant k^2>\frac{n}{p+2}$. Soit $k$ le plus grand entier tel que $\frac{n}{p}\geqslant k^2$. On a alors $(k+1)^2>\frac{n}{p}$ d'où $\frac{n}{p+2}<\frac{p(k+1)^2}{p+2}=k^2 \frac{p(k+1)^2}{(p+2)k^2}$. Or la fonction $k\mapsto \frac{(k+1)^2}{k^2}$ est décroissante donc pour $n\geqslant p(p+1)^2$, c'est-à-dire $k\geqslant p+1$, on a $\frac{p(k+1)^2}{(p+2)k^2}\leqslant \frac{p(p+1)^2}{(p+2)p^2}=\frac{(p+1)^2}{(p+2)p}<1$ d'où en effet $\frac{n}{p+2}<k^2$.