Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
Somme des entiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment prouver que la moyenne de $1, 2, ..., n$ est $(n+1)/2$, de façon à pouvoir écrire $1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2$ sans qu'il y ait raisonnement circulaire ?
A+
Comment prouver que la moyenne de $1, 2, ..., n$ est $(n+1)/2$, de façon à pouvoir écrire $1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2$ sans qu'il y ait raisonnement circulaire ?
A+
Réponses
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Par « associativité du barycentre » : la moyenne de $1$ et $n$, de $2$ et $n-1$, etc. est $(n+1)/2$ donc la moyenne de tous ces nombres, qui est la moyenne des moyennes, est aussi $(n+1)/2$ ? Ce n'est bien sûr qu'une resucée de l'argument classique.
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On écrit tous les nombres de 1 à n sur une première rangée, du plus petit au plus grand.
Puis on écrit à nouveau tous les nombres de 1 à n sur une 2ème rangée, mais du plus grand au plus petit.
Sur chaque colonne, on a une somme de n+1
Et on a n colonnes. Donc la somme de tout ça est n*(n+1).
Donc dans chaque ligne,la somme est n(n+1)/2, et donc la moyenne des termes de chaque ligne est (n+1)/2Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Si $P = \frac{1}{2}X(X-1)$, alors $P(k+1)-P(k) = k$, d'où
$$\sum_{k=1}^n k = P(n+1)-P(1) = \frac{n(n+1)}{2}.$$ -
RE
Je cherche une preuve autre qu'une resucée de la preuve classique (dixit Math Coss).
Sans aller chercher les barycentres ou l'astuce de Gauss, pourquoi la moyenne d'un ensemble d'entiers consécutifs est-elle la demi-somme des extrêmes ?
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
Parce que c’est la moyenne de chaque paire idoine ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
C’est la linéarité de la moyenne, comme dit plusieurs fois.
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La même méthode s'applique pour trouver la somme des nombres éléments d'un ensemble $E$, de cardinal $n$, pour lequel il existe une constante $c$ telle que : $\forall x \in E, c-x \in E$.
Par exemple : somme des nombres de $9$ chiffres en base $\textrm{dix}=9+1$, s'écrivant chacun avec tous les chiffres de $ 1$ à $9$, chaque chiffre pris une fois dans chacun des nombres, par exemple $528~947~631$, qui sont au nombre de $9!$. -
RE
On peut le prouver par récurrence :
-- moyenne de $\{1, 2\} = (1+2)/2$
-- si moyenne de $\{1, ..., n\} = (1+n)/2$, alors
moyenne de $\{1, ..., n, n+1\} = (n.(n+1)/2 + (n+1))/(n+1) = (n+2)/2 = ((n+1) + 1)/2$.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
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